SvolgoMath Allora:
436) Considera le funzioni f(x)=1+\sqrt{4x+5-x^2} e g(x)=|x-2|+k.
- a. Traccia il grafico di f.
- b. Determina il valore di k per cui il grafico della funzione g passa per il centro della semicirconferenza f.
- c. In riferimento ai grafici tracciati ai punti a e b, risolvi la disequazione f(x) \leq g(x).
- d. Determina il valore di k per cui il grafico della funzione g passa per gli estremi del diametro della semicirconferenza f.
- e. Determina il perimetro e l'area della regione finita di piano limitata dal grafico della funzione f e dal grafico della funzione tracciata al punto d.
Traccia lunghetta! Lo studio di funzione delle due funzioni te lo salto, puoi fare riferimento a questa risposta che ho dato a un altro ragazzo (nei limiti del possibile chiaramente, visto che ogni funzione è diversa): https://forum.svolgomath.it/d/69-studio-di-una-funzione
Dunque, stiamo dando per scontato che il grafico di f(x) sia questo:
Dunque il centro della semicirconferenza è C(2,1) mentre gli estremi del diametro sono A(-1,1) e B(5,1).
Se hai bisogno di una mano pure con lo studio di funzione, ti ripeto, fammelo sapere al massimo sotto questa discussione stessa. Io per accorciare i tempi do per assodato che alcune cose le hai affrontate. 😉
Per il punto b. si fa subito: infatti imponiamo passaggio per C e abbiamo finito:
1=|2-2|+k \to k=1
Per il punto c. dobbiamo dapprima tracciare il grafico di g(x) sopra quello di f(x), con il valore di k=1. Notiamo che ciò che esce è questo:
Dunque la disequazione grafica si risolve immediatamente prestando attenzione alle due curve tracciate: avremo infatti che la disequazione indicata corrisponde a questi due intervalli che ho evidenziato:
Per risolvere e trovare i punti precisi c'è solo un modo: il sistema.
\left\{\begin{matrix}
y=1+\sqrt{4x+5-x^2}\\
y=|x-2|+1
\end{matrix}\right.
E con il metodo del confronto, risolviamo:
|x-2|+1=1+\sqrt{4x+5-x^2}\\
x^2+4-4x=4x+5-x^2\\
2x^2-8x-1=0\\
x=\frac{8\pm\sqrt{64+8}}{4}=\frac{8\pm\sqrt{72}}{4}=\frac{8\pm2\sqrt{18}}{4}=\frac{8\pm6\sqrt2}{4}=\frac{4\pm3\sqrt2}{2}
Dal grafico, si nota immediatamente dunque che l'intervallo soluzione della disequazione è -1\leq x \leq \frac{4-3\sqrt2}{2} \cup \frac{4+3\sqrt2}{2}\leq x \leq 5
Per il punto d. si impone la stessa cosa di prima, però questa volta sono i due punti per cui deve passare. Dunque:
\left\{\begin{matrix}
1=|-1-2|+k\\
1=|5-2|+k
\end{matrix}\right.\to
\left\{\begin{matrix}
1=3+k\\
1=3+k
\end{matrix}\right.\to
k=-2
Per il punto e. adesso devi determinare perimetro e area della regione finita di piano limitata dalle due funzioni (con k=-2 attenzione). Stiamo sostanzialmente cercando perimetro e area di questa nuova figura (dobbiamo preventivamente tracciare anche il grafico della nuova g(x)):
Per il perimetro basta dividerlo in pezzetti più semplici:
I due segmenti rettilinei, lo si vede, sono uguali, e sono lunghi (puoi farlo con il calcolo della distanza tra due punti) 2*3\sqrt2=6\sqrt2 visto che sono due i segmenti.
Mentre per l'arco, sappiamo che è metà della circonferenza totale, dunque sapendo il raggio, è ovviamente \frac{2*pi*r}{2}=\frac{2*pi*3}{2}=3\pi.
Sommiamo i contributi e abbiamo 2P=3\pi + 6\sqrt2
L'area stesso discorso, se ti servono i calcoli fammelo sempre sapere, ma si tratta sempre dello stesso ragionamento: ti calcoli l'area del triangolo sotto e della semicirconferenza sopra (metà della circonferenza), sommi e hai finito 🙂
Ti dovrebbe ovviamente uscire 54-36\sqrt2
Se ti è stato utile, o hai dubbi o domande al riguardo, fammelo sempre sapere sotto questa discussione! 😎
