Marco Ciao Marco e benvenuto nel forum!
Ti ricordo sin da subito di seguire e farti una lettura del regolamento (https://forum.svolgomath.it/d/3-regolamento-del-forum) così non ti perdi nulla!
Iniziamo:
- Dominio: la funzione è una funzione polinomiale (ovvero super facile da studiare), il suo dominio è infatti tutto \mathbb{R} visto che non ci sono punti "dubbi" sui quali la funzione presenta problemi.
- Intersezioni con gli assi: basta risolvere due sistemi semplici: uno in cui x=0 e l'altro in cui y=0 in questo modo:\left\{\begin{matrix}
x=0\\
y=x-\frac{1}{5}x^5
\end{matrix}\right.
\hspace{1cm}
\left\{\begin{matrix}
y=0\\
y=x-\frac{1}{5}x^5
\end{matrix}\right.Il primo sistema, se si sostituisce x=0 alla seconda equazione, avremo y=0, dunque il primo punto di intersezione con gli assi è proprio l'origine O(0,0).
Il secondo sistema, se si sostituisce y=0 alla seconda equazione, avremo invece x-\frac{1}{5}x^5=0 ovvero x(1-\frac{1}{5}x^4)=0 che ammette come soluzione, oltre all'origine che ci siamo già trovati prima, anche:x^4=5\to x^2=\pm\sqrt5 \to x=\pm\sqrt[4]{5} e dunque, oltre all'origine, ci sono altri due punti di intersezione A(-\sqrt[4]5,0) e B(\sqrt[4]5,0).
- Limiti: non essendoci punti non appartenenti al dominio, gli unici limiti da studiare sono quelli per x\to \pm \infty. Allo scopo, osserviamo che i due limiti vengono:
\lim_{x \to - \infty}f(x)=+\infty\\
\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\inftyE la giustificazione del perché non è necessario nessun calcolo è perché è una funzione polinomiale, dunque è inutile verificare il comportamento per le x di grado inferiore al massimo. Basta infatti vedere come si comporta x^5 e lo studio è immediato (principio degli infiniti).
- Studio del segno: abbastanza semplice, si tratta di risolvere la disequazione x-\frac{1}{5}x^5\geq0e avraix-\frac{1}{5}x^5\geq0\to x(1-\frac{1}{5}x^4)\geq0\to x(5-x^4)\geq0\\ e se si separano i due fattori avremo: \begin{matrix}
x\geq0\\
5-x^4\geq0
\end{matrix}\rightarrow
\begin{matrix}
x\geq0\\
x^4\leq5
\end{matrix}\rightarrow
\begin{matrix}
x\geq0\\
-\sqrt5\leq x^2 \leq \sqrt5
\end{matrix}\rightarrow
\begin{matrix}
x\geq0\\
-\sqrt[4]5\leq x \leq \sqrt[4]5
\end{matrix} che ha come soluzione (se si effettua lo studio del segno) l'intervallo x\leq -\sqrt[4]5 \cup 0\leq x \leq \sqrt[4]5
- Studio della derivata prima (con minimi e massimi): calcola la derivata prima e studiati la disequazione f'(x)\geq 0 e hai finito!
f'(x)=1-x^4\\
f'(x)\geq0 \Leftrightarrow 1-x^4\geq0\to x^4\leq1 \to-1\leq x^2 \leq 1 \to -1\leq x \leq 1E se, di nuovo effettui lo studio del segno, troverai che a x=-1 hai un minimo relativo, mentre a x=1 avrai un massimo relativo.
- Eventuali simmetrie della funzione: le principali che si fanno sono parità o disparità di una funzione.
1) basta vedere se vale (per la parità) f(x)=f(-x)
2) o se vale (per la disparità) f(x)=-f(x)
Per la parità osserviamo che se cambiamo segno alle x la funzione diventa completamente diversa, dunque non può essere pari.
Per la disparità, vediamo che succede: f(x)=x-\frac{1}{5}x^5\\-f(-x)=-((-x)-\frac{1}{5}(-x)^5)=x-\frac{1}{5}x^5
Cioè abbiamo visto che invece la condizione f(x)=-f(x) viene rispettata. La funzione è dispari allora.
Il grafico, se metti tutto insieme, viene così:
Se ti è stato utile, fammelo sapere in risposta sotto questa discussione, o se hai dubbi al riguardo lo stesso fallo notare sempre sotto questa discussione, e appena possibile ti rispondo. 😎
