Ciao e benvenuta nel forum @Katiag26 !

Riavvia la discussione mandando la foto girata correttamente, e scrivendo per bene le tracce.
C'è il regolamento da seguire: https://forum.svolgomath.it/d/3-regolamento-del-forum

SvolgoMath mi servono gli es 436 437 e 438 graziee

Domani mattina se riesco ti rispondo a un solo esercizio (il primo).

Ti ricordo di controllare bene il regolamento: ogni traccia va scritta per intero in forma scritta (e se serve mandando la foto, tipo se c'è un grafico o un disegno del problema, ma il testo scritto deve sempre esserci!) e, inoltre per ogni esercizio devi creare un nuovo post, altrimenti c'è disordine.

SvolgoMath Allora:

436) Considera le funzioni $f(x)=1+\sqrt{4x+5-x^2}$ e $g(x)=|x-2|+k$.

• a. Traccia il grafico di $f$.
• b. Determina il valore di $k$ per cui il grafico della funzione $g$ passa per il centro della semicirconferenza $f$.
• c. In riferimento ai grafici tracciati ai punti a e b, risolvi la disequazione $f(x) \leq g(x)$.
• d. Determina il valore di $k$ per cui il grafico della funzione $g$ passa per gli estremi del diametro della semicirconferenza $f$.
• e. Determina il perimetro e l'area della regione finita di piano limitata dal grafico della funzione $f$ e dal grafico della funzione tracciata al punto d.

Traccia lunghetta! Lo studio di funzione delle due funzioni te lo salto, puoi fare riferimento a questa risposta che ho dato a un altro ragazzo (nei limiti del possibile chiaramente, visto che ogni funzione è diversa): https://forum.svolgomath.it/d/69-studio-di-una-funzione

Dunque, stiamo dando per scontato che il grafico di $f(x)$ sia questo:

Dunque il centro della semicirconferenza è $C(2,1)$ mentre gli estremi del diametro sono $A(-1,1)$ e $B(5,1)$.

Se hai bisogno di una mano pure con lo studio di funzione, ti ripeto, fammelo sapere al massimo sotto questa discussione stessa. Io per accorciare i tempi do per assodato che alcune cose le hai affrontate.

Per il punto b. si fa subito: infatti imponiamo passaggio per $C$ e abbiamo finito:
$$1=|2-2|+k \to k=1$$

Per il punto c. dobbiamo dapprima tracciare il grafico di $g(x)$ sopra quello di $f(x)$, con il valore di $k=1$. Notiamo che ciò che esce è questo:

Dunque la disequazione grafica si risolve immediatamente prestando attenzione alle due curve tracciate: avremo infatti che la disequazione indicata corrisponde a questi due intervalli che ho evidenziato:

Per risolvere e trovare i punti precisi c'è solo un modo: il sistema.

$$\left\{\begin{matrix} y=1+\sqrt{4x+5-x^2}\\ y=|x-2|+1 \end{matrix}\right.$$
E con il metodo del confronto, risolviamo:
$$|x-2|+1=1+\sqrt{4x+5-x^2}\\ x^2+4-4x=4x+5-x^2\\ 2x^2-8x-1=0\\ x=\frac{8\pm\sqrt{64+8}}{4}=\frac{8\pm\sqrt{72}}{4}=\frac{8\pm2\sqrt{18}}{4}=\frac{8\pm6\sqrt2}{4}=\frac{4\pm3\sqrt2}{2}$$
Dal grafico, si nota immediatamente dunque che l'intervallo soluzione della disequazione è $-1\leq x \leq \frac{4-3\sqrt2}{2} \cup \frac{4+3\sqrt2}{2}\leq x \leq 5$

Per il punto d. si impone la stessa cosa di prima, però questa volta sono i due punti per cui deve passare. Dunque:
$$\left\{\begin{matrix} 1=|-1-2|+k\\ 1=|5-2|+k \end{matrix}\right.\to \left\{\begin{matrix} 1=3+k\\ 1=3+k \end{matrix}\right.\to k=-2$$

Per il punto e. adesso devi determinare perimetro e area della regione finita di piano limitata dalle due funzioni (con $k=-2$ attenzione). Stiamo sostanzialmente cercando perimetro e area di questa nuova figura (dobbiamo preventivamente tracciare anche il grafico della nuova $g(x)$):

Per il perimetro basta dividerlo in pezzetti più semplici:
I due segmenti rettilinei, lo si vede, sono uguali, e sono lunghi (puoi farlo con il calcolo della distanza tra due punti) $2*3\sqrt2=6\sqrt2$ visto che sono due i segmenti.
Mentre per l'arco, sappiamo che è metà della circonferenza totale, dunque sapendo il raggio, è ovviamente $\frac{2*pi*r}{2}=\frac{2*pi*3}{2}=3\pi$.
Sommiamo i contributi e abbiamo $2P=3\pi + 6\sqrt2$

L'area stesso discorso, se ti servono i calcoli fammelo sempre sapere, ma si tratta sempre dello stesso ragionamento: ti calcoli l'area del triangolo sotto e della semicirconferenza sopra (metà della circonferenza), sommi e hai finito
Ti dovrebbe ovviamente uscire $54-36\sqrt2$

Se ti è stato utile, o hai dubbi o domande al riguardo, fammelo sempre sapere sotto questa discussione!