Ciao caro, purtroppo non è stata rispettata la regola del scrivere per iscritto la traccia. Se hai urgenza di essere risolto l'esercizio, puoi scrivere la traccia qui sotto e appena possibile te lo risolvo!

è data la parabola di equazione y=x2 - 2x-3. Dopo aver determinato le equazioni delle rette a essa tangenti uscenti dal punto C(1;8), trova le coordinate dei punti di intersezione A e B delle tangenti con l'asse x. Calcola l'area del triangolo ABC

    FrancescoRosati Basta imporre Δ=0\Delta = 0 al sistema:
    {y=x2−2x−3y+8=m(x−1)→{mx−m−1=x2−2x−3y=m(x−1)−8→mx−m−8=x2−2x−3→x2+x(−m−2)+5+m=0Δ=0⇔m2+4+4m−4(1)(m+5)=0→m2+4m+4−4m−20=0→m2=16→m=±4\left\{\begin{matrix} y=x^2-2x-3\\ y+8=m(x-1) \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix} mx-m-1=x^2-2x-3\\ y=m(x-1)-8 \end{matrix}\right.\\ \\ \to mx-m-8=x^2-2x-3 \to x^2+x(-m-2)+5+m=0\\ \Delta=0 \Leftrightarrow m^2+4+4m-4(1)(m+5)=0 \to\\ m^2+4m+4-4m-20=0\to m^2=16 \to m=\pm4 e dunque le rette saranno:
    y=4x−4−8=4x−12,y=−4x+4−8=−4x−4y=4x-4-8=4x-12, y=-4x+4-8=-4x-4 Le intersezioni con l'asse x delle due rette saranno:
    4x−12=0→x=3−4x−4=0→x=−14x-12=0 \to x=3\\ -4x-4=0 \to x=-1 ovvero i punti A(3,0),B(−1,0)A(3,0), B(-1,0).
    L'area del triangolo si calcola o usando la regola classica (base * altezza / 2) oppure sfruttando la regola di Gauss. In questo caso conviene la regola classica, visto che:
    A=b⋅h2=∣AB∣⋅∣Cy∣2=4⋅82=16A=\frac{b \cdot h}{2}=\frac{|AB| \cdot |C_y|}{2}=\frac{4\cdot 8}{2}=16

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