piano cartesiano e retta

alessiaperna

ciao! potresti aiutarmi a risolvere questi esercizi? 34,35,36. te ne sarei molto grata!

SvolgoMath

Ciao e benvenuta nel forum! La prossima volta manda la foto girata correttamente e controlla il regolamento, così non ti perdi nessuna regola!

Allora:

Questo sembra "semplice" ma in realtà richiede un po' di ragionamento: ci chiede di determinare il quarto vertice D di questo parallelogramma, sapendo che A,B,C sono gli altri tre vertici, ma consecutivi! E' un dettaglio importante questo. Da come sono "messe" sul piano cartesiano questi 3 vertici, sai già che il quarto vertice lo devi trovare necessariamente sotto C e a sinistra di A.

Da qui poi è semplice, basta vedere chi è il "vettore" che unisce B ad A e spostarlo lungo C così avrai le coordinate del punto D.
Il vettore BA è la coppia BA=(3-2,-1-3)=(1,-4) e quindi il punto D starà su B=(-2+1,0-4)=(-1,-4) e hai finito.
Per verificare che è un trapezio basta che lo disegni sul piano cartesiano (e a occhio sapresti già dirlo) oppure senza disegnarlo, ti basta verificare che almeno due lati diversi siano paralleli (nel nostro caso, nel disegno che ho caricato dopo, vedi che sono BC e AD). Non credo sia difficile, se hai bisogno fammi sapere. L'area ovviamente, la calcoli come A=\frac{(b+B)*h}{2} per fare questo, però, suggerisco di applicare la regola di Gauss invece dell'area standard:

Sapendo le 4 coordinate, l'area sarà infatti:
A=\frac{1}{2}\left|0-\frac{1}{3}+0-3-(1+0+1+0) \right|=\frac{1}{2}\left|-5-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{2}\left|-\frac{16}{3}\right|=\frac{1}{2}\frac{16}{3}=\frac{8}{3} Per calcolare il punto medio delle diagonali quello che devi fare è descrivere le due rette che passano per i punti B e D (la prima retta) e per i punti A e C (la seconda), e poi risolvere il sistema. Ho svolto esercizi simili sul forum in merito, se cerchi trovi qualcosa! Se ti serve una mano fammi sapere.
Per verificare che è un rombo, di nuovo, puoi vederlo "a occhio" sul piano cartesiano, oppure semplicemente calcolare le 4 distanze e verificare che sono tutt'e 4 identiche. Come vuoi fare tu. La dimostrazione che esce fuori un rettangolo congiungendo i punti medi dei lati è immediata:
M_{AB}=\left(\frac{1+3}{2},\frac{-1-4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},-\frac{5}{2}\right)=\left(2,-\frac{5}{2}\right)\\ M_{BC}=\left(\frac{3+6}{2},\frac{-4-6}{2}\right)=\left(\frac{9}{2},-\frac{10}{2}\right)=\left(\frac{9}{2},-5\right)\\ M_{CD}=\left(\frac{6+4}{2},\frac{-6-3}{2}\right)=\left(\frac{10}{2},-\frac{9}{2}\right)=\left(5,-\frac{9}{2}\right)\\ M_{DA}=\left(\frac{4+1}{2},\frac{-3-1}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},-\frac{4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},-2\right)\\ E verifica che ci sono lati a due a due uguali, ma se vedi la "simmetria" delle coordinate dei 4 vertici, già ti può dire qualcosa :)

Se hai dubbi o altro, fammi sapere sempre sotto questa discussione!