Gio Mi sembra abbastanza semplice:

Basta che trovi un intorno di 2 per cui viene verificato il teorema della permanenza del segno, ovvero un intorno di 2 per cui la funzione assume sempre il valore positivo (o negativo, a seconda del segno del limite - che in questo caso è positivo).

Sapendo che il limite fa 2 per $x \to 2$, prendiamo un intervallo (anche piccolissimo per dire) in cui verificare se la funzione rimane positiva per tutto l'intervallo: prendiamo $[1,3]$ per esempio.

Vediamo che con questa scelta, abbiamo:
$\frac{x+4}{x+1}\overset{x=1}=\frac{1+4}{1+1}=\frac{5}{2}\\ \frac{x+4}{x+1}\overset{x=3}=\frac{3+4}{3+1}=\frac{7}{4}$

Sappiamo inoltre che la funzione è strettamente decrescente in questo intervallo, concludiamo che non è possibile trovare all'interno di questo intorno valori negativi assunti dalla funzione, dunque abbiamo verificato il teorema della permanenza del segno, ovvero che almeno in un intorno di 2 di raggio arbitrariamente grande la funzione assume solo valori positivi.