Gio Mi sembra abbastanza semplice:
Basta che trovi un intorno di 2 per cui viene verificato il teorema della permanenza del segno, ovvero un intorno di 2 per cui la funzione assume sempre il valore positivo (o negativo, a seconda del segno del limite - che in questo caso è positivo).
Sapendo che il limite fa 2 per x \to 2, prendiamo un intervallo (anche piccolissimo per dire) in cui verificare se la funzione rimane positiva per tutto l'intervallo: prendiamo [1,3] per esempio.
Vediamo che con questa scelta, abbiamo:
\frac{x+4}{x+1}\overset{x=1}=\frac{1+4}{1+1}=\frac{5}{2}\\
\frac{x+4}{x+1}\overset{x=3}=\frac{3+4}{3+1}=\frac{7}{4}
Sappiamo inoltre che la funzione è strettamente decrescente in questo intervallo, concludiamo che non è possibile trovare all'interno di questo intorno valori negativi assunti dalla funzione, dunque abbiamo verificato il teorema della permanenza del segno, ovvero che almeno in un intorno di 2 di raggio arbitrariamente grande la funzione assume solo valori positivi.
