Katiag26 La risoluzione di questo esercizio dovrebbe essere immediata "teoricamente".
L'obiettivo è imporre condizione di tangenza in due sistemi, e poi risolvere un sistema di due equazioni in m e q.
Primo sistema:
\left\{\begin{matrix}
y=x^2\\
y=mx+q
\end{matrix}\right.\to
x^2-mx-q=0\to \Delta=0:m^2+4q=0.
Secondo sistema:
\left\{\begin{matrix}
y=x^2+6x+3\\
y=mx+q
\end{matrix}\right.\to
x^2+x(6-m)+3-q=0\to \Delta=0:(6-m)^2-4(3-q)=0
E quindi il sistema da risolvere finale è:
\left\{\begin{matrix}
m^2+4q=0\\
(6-m)^2-4(3-q)=0
\end{matrix}\right.\to
\left\{\begin{matrix}
m^2+4q=0\\
36+m^2-12m-12+4q=0
\end{matrix}\right. e se applichi la sostituzione della prima equazione sotto, ti trovi:
36-12m-12=0\to12m=24\to m=2 e da qui ti ricavi q=-1 dalla seconda equazione.
La retta r tangente a entrambe le parabole è dunque y=2x-1.
I punti di contatto dovrebbero essere facili da trovare: fai 3 sistemi diversi tra le due parabole e la retta (nelle possibili combinazioni) e avrai i punti A(-2,-5),B(1,1) e C(-\frac{1}{2},\frac{1}{4}).
L'area del triangolo dipende da quali metodi ti hanno insegnato:
Io per esempio, invito sempre (come ho fatto io alle superiori) di calcolarla con la formula di Gauss, con le matrici, e si risolve immediatamente (https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_dell%27area_di_Gauss) nel nostro caso:
\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
-2 & -5 &1 \\
1 &1 &1 \\
-\frac{1}{2} &\frac{1}{4} & 1
\end{vmatrix}\to \frac{1}{2}\left|-2+\frac{1}{4}+\frac{5}{2}-\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-5\right)\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{27}{4}\right|=\frac{27}{8} E abbiamo già finito, ma se hai ovviamente altri metodi, usa quelli che la professoressa/professore ti ha raccomandato!
Se ti è tutto chiaro, o hai dubbi/domande al riguardo fammelo sapere sotto questa discussione! 😎
