GiovanniBarbato Ciao Giovanni e benvenuto nel forum!
Ti ricordo come ho fatto con tutti di dare un occhiata al regolamento (https://forum.svolgomath.it/d/3-regolamento-del-forum) così non ti perdi nessuna regola (la prima volta è tollerato, la prossima volta è necessario scrivere per intero la traccia dell'esercizio o degli esercizi, ed eventualmente se desideri mandare la foto per far capire la traccia se ci sono grafici o disegni).
La traccia è:
Scrivi l'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse delle ordinate, un vertice in A(3,0) ed eccentricità e=\frac{\sqrt2}{2}. Successivamente calcola l'area dei rettangoli inscritti nell'ellisse aventi perimetro che misura 20.
L'equazione dell'ellisse si trova subito. Essendo i fuochi sull'asse delle ordinate, sai già che b^2 > a^2, dunque dal vertice ricavi subito che a=3 \to a^2=9 e per trovare b parti dall'eccentricità (che sai):
e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt2}{2}\to e^2=\frac{c^2}{b^2}=\frac{b^2-a^2}{b^2}=\frac{1}{2} \to \frac{b^2-9}{b^2}=\frac{1}{2} e cioè: 2b^2-18=b^2\to b^2=18 e abbiamo finito! L'equazione dell'ellisse è \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{18}=1
Ora, per trovare l'area del rettangolo il cui perimetro è lungo 20 bisogna prendere in considerazione un punto P(x,y) generico dell'ellisse, esprimercelo in funzione dell'ellisse, e poi imporre la condizione cercata:
Esprimiamoci le coordinate del punto P in funzione della sola x (per esempio):
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{18}=1 \to 18x^2+9y^2=162\to y=\pm \frac{\sqrt{162-18x^2}}{3} e prendiamoci per semplicità quella positiva, avremo quindi che il punto P nel primo quadrante ha coordinate P(x,\frac{\sqrt{162-18x^2}}{3})
Ora, imponiamo la condizione del perimetro:
2(2x)+2\left(\frac{2}{3}\sqrt{162-18x^2}\right)=20\to 4x+\frac{4}{3}\sqrt{162-18x^2}=20\\
\to 60-12x=4\sqrt{162-18x^2}\to (60-12x)^2=(4\sqrt{162-18x^2})^2...
Se svolgi i passaggi, ti trovi x_0=1,x_1=\frac{7}{3} che ti danno i relativi punti P_0(1,4) e P_1(\frac{7}{3},\frac{8}{3}) e da qui l'area dei due rettangoli è immediata: basta fare base per altezza e abbiamo fatto (ovviamente fai sempre attenzione al fatto che devi raddoppiare le coordinate per avere le basi e le altezze!)
Se ti è tutto chiaro, o hai dubbi al riguardo, fammelo sapere sempre sotto questa discussione! 😎
