aurora Ciao Aurora e benvenuta nel forum!

Ti ricordo come ho fatto con tutti di dare un occhiata al regolamento (https://forum.svolgomath.it/d/3-regolamento-del-forum) così non ti perdi nessuna regola (la prima volta è tollerato, la prossima volta è necessario scrivere per intero la traccia dell'esercizio o degli esercizi, ed eventualmente se desideri mandare la foto per far capire la traccia se ci sono grafici o disegni).

Iniziamo:

E' data l'equazione $x^2-2(a+1)x-1-a=0$. Determina per quali valori di $a$ l'equazione:

• a. ammette fra le sue soluzioni $x=-1$;
• b. ammette due soluzioni reali la cui somma è $4$;
• c. ammette due soluzioni reali il cui prodotto è $3$.

Il punto a si risolve immediatamente: basta sostituire $x=-1$ all'equazione, e ci troviamo il valore di $a$ per cui l'equazione ha senso:
$$(-1)^2-2(a+1)(-1)-1-a=0 \to\\ 1+2a+2-1-a=0\to\\ a=-2$$e abbiamo finito.

Il punto b e il punto c invece, si possono risolvere o manualmente applicando la teoria (che invito sempre a fare) oppure a seguire una scorciatoia, e leggere dalle tabelle delle condizioni facilmente trovabili in rete (qui ti lascio un link https://www.matematika.it/public/allegati/37/03_26_Equazioni_parametriche_tabella_2_9.pdf)

Dalla tabella si evince che, la condizione per cui la somma faccia $4$ deve essere:
$$-\frac{-2(a+1)}{1}=4 \to2a+2=4\to a=1$$
Mentre la condizione per cui il prodotto venga $3$ di nuovo, guardiamo la tabella, e vediamo:
$$\frac{-1-a}{1}=3\to a=-4$$
E abbiamo finito!

Se ti è stato utile, o hai dubbi o domande al riguardo, puoi lasciarmi un feedback sempre sotto questa discussione!