matteo Ciao Matteo e benvenuto nel forum!

Come a tutti i nuovi, ti ricordo di fare un salto al regolamento del forum (https://forum.svolgomath.it/d/3-regolamento-del-forum) qualora non l'avessi già fatto!

Iniziamo:

• Per il punto a la prima cosa è determinare almeno un vettore direttore contenuto nella retta che passa per $AB$. Avremo allora:
  $$v=(x_b-x_a,y_b-y_a,z_b-z_a)=(1,0,3)$$ E la rappresentazione parametrica della retta sarà semplicemente (prendendo come punto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ il punto $A$):
  $$r:\left\{\begin{matrix} x=-1+t\\ y=0\\ z=1+3t \end{matrix}\right.$$

• Per il punto b basta togliere la dipendenza dal parametro $t$ in questo modo:
  $$\left\{\begin{matrix} x=-1+t\\ y=0\\ z=1+3t \end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix} t=1+x\\ y=0\\ z=1+3(1+x) \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix} y=0\\ z=3x+4 \end{matrix}\right.$$ E notiamo infatti l'intersezione tra i due piani appena trovati.

• Per il punto c basta che aggiungi la dipendenza da due parametri $h$ e $k$ in questo modo:
  $$h(y)+k(3x-z+4)=0$$ E questa è l'equazione del fascio proprio, ovvero del fascio di piani che contengono la retta $r$ trovata prima (il sostegno).

• Per il punto d finale, basta imporre passaggio per il punto $C$ e scegliere una combinazione di valori arbitrari da assegnare ai due parametri conveniente:
  $$\\h(y)+k(3x-z+4)=0 \to h(3)+k(3*2-5+4)=0 \to 3h+5k=0 \to h=-\frac{5}{3}k$$ Per semplificarci la situazione, prendiamo $k=3$ così avremo di conseguenza $h=-5$ e avremo il piano:
  $$-5y+3(3x-z+4)=0\to 9x-5y-3z+12=0$$Ed ecco qui la soluzione.

Per verificare che sia davvero il piano che contiene i tre punti $A,B$ e $C$ potresti imporre passaggio per i tre punti sono soluzione dell'equazione.

Mi raccomando, se ti è piaciuta la risposta, puoi condividere l'app/forum con i tuoi amici, e se hai dubbi o domande al riguardo puoi lasciare una risposta sempre sotto questa discussione!