Il problema recita:
In una battaglia campale che avviene su un terreno orizzontale, un artigliere ha l'ordine di colpire un bersaglio posto a distanza d=480m dal suo cannone. L'arma spara proiettili con una velocità d'uscita v=82 m/s. Determinare angolo di elevazione a cui si deve puntare il cannone per colpire il bersaglio, quanto tempo impiega a colpire il bersaglio.
Questo è il disegno:
Per risolvere il problema, possiamo utilizzare le equazioni del moto parabolico, che descrivono il movimento di un proiettile lanciato in un campo gravitazionale senza resistenza dell'aria. Dobbiamo determinare l'angolo di elevazione \theta e il tempo t necessario per colpire un bersaglio a distanza orizzontale d = 480 \, \text{m} con una velocità di uscita v_0 = 82 \, \text{m/s} .
Passo 1: Equazioni del moto
Le equazioni del moto parabolico sono:
- Moto orizzontale: x = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t
- Moto verticale: y = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2
Dove:
- x è la distanza orizzontale (in questo caso, d = 480 \, \text{m} ),
- y è la variazione di altezza (in questo caso y = 0 , dato che il bersaglio si trova alla stessa altezza del cannone),
- g = 9.81 \, \text{m/s}^2 è l'accelerazione di gravità,
- \theta è l'angolo di elevazione.
Passo 2: Risoluzione per il tempo di volo
Dal moto orizzontale:
d = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t
Da questa equazione possiamo risolvere per il tempo di volo t :
t = \frac{d}{v_0 \cdot \cos(\theta)}
Passo 3: Equazione del moto verticale
Dal moto verticale, sappiamo che l'altezza finale è zero:
0 = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2
Sostituendo t dall'equazione precedente:
0 = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot \frac{d}{v_0 \cdot \cos(\theta)} - \frac{1}{2} g \cdot \left( \frac{d}{v_0 \cdot \cos(\theta)} \right)^2
Ora possiamo risolvere per l'angolo \theta . Risolvendo l'equazione goniometrica (si tratta di fare una sostituzione di seno per coseno con le formule di sostituzione degli angoli) possiamo calcolare i due angoli di elevazione possibili per colpire il bersaglio, che sono:
- \theta_1 = 22.23^\circ
- \theta_2 = 67.77^\circ
I tempi di volo corrispondenti sono:
- Per \theta_1 = 22.23^\circ , il tempo di volo è t_1 = 6.32 \, \text{secondi}
- Per \theta_2 = 67.77^\circ , il tempo di volo è t_2 = 15.48 \, \text{secondi}
Entrambi gli angoli porteranno a colpire il bersaglio, ma con tempi di volo differenti.
Per capire invece la direzione e modulo minimo della velocità, sappiamo dalla teoria che a 45 gradi di elevazione, per esempio, si ha l'angolo "migliore" per coprire più distanza orizzontale, a parità di modulo di velocità d'uscita. Se sostituisco nelle formule quest'angolo, posso calcolarmi il tempo di percorrenza del proiettile prima che arrivi ad altezza 0, dunque con le formule inverse valutarmi anche il modulo della velocità di uscita. Non riporto i risultati ma è banale il procedimento. Se non ti fosse ancora chiaro come svolgerlo, chiedi sotto nei commenti e ti guido anche per questa soluzione.
Ciao!
