Esercizi di Fisica 1 (meccanica e termodinamica)

MariannaPagano

Esercizio 1

Un corpo puntiforme di massa m=1,88 Kg è vincolato a muoversi lungo una guida rettilinea orizzontale liscia sotto l'azione della forza F(x)= -x³+4x, ove la forza è espressa in Newton e x è la coordinata cartesiana espressa in metri rispetto a un asse cartesiano lungo la guida.
Qual è il modulo della velocità minima che il corpo deve avere quando si trova nel punto di coordinate x=2m affinché esso riesca a raggiungere il punto di ascissa x=-2m?
(suggerimento: si studino gli eventuali punti di equilibrio) [soluzione: v=2,063m/s]

Svolgimento: Per lo studio dei punti di equilibrio si pone F(x)=0, per cui risulta x=2m, x=0 e x=-2m.
Dopodichè credo si debba applicare il teorema delle forze vive, per cui il lavoro compiuto dalla forza è uguale alla differenza di enercia cinetica lungo il percorso.
Comunque provi a fare i calcoli, non riesco a trovarmi con il risultato.

Esercizio 2 (termodinamica):

Una mole di gas perfetto biatomico è sottoposta ad una trasformazione di equazione TV^-2=cost (T è la temperatura e V il volume) da uno stato di equilibrio alla temperatura T1=335,8 K ad un nuovo stato di equilibrio alla temperatura T2=535,2K.
Determinare il calore scambiato dal gas espresso in Joule.
Per la costante dei gas, si usi il valore R=8,314 J/(K*mol)
[Soluzione: Q=4973,43 J]

SvolgoMath

U(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2
Inoltre, i punti in cui la forza è nulla sono i punti di equilibrio del sistema, e sono banalmente x=0,x=\pm2, e sostituendo questi valori alla U(x) ci troviamo:
U(-2)=-4J\\ U(2)=-4J\\ U(0)=0J
Per essere sicuri che il corpo da x=2 arrivi a x=-2 dobbiamo passare per x=0 che rappresenta idealmente una "barriera di potenziale" da sorpassare. Per essere sicuri che possiamo superarla, l'energia totale del sistema a x=2 deve essere almeno uguale a quella a x=0 (l'energia minima di un sistema è quella per cui la sua energia cinetica è nulla)
Possiamo a questo punto sfruttare il teorema di conservazione dell'energia meccanica:
E_{x=0}=E_{x=2}\\ U_{0}+K_{0}=U_{2}+K_{2}\\ 0+\frac{1}{2}mv_0^2=-4J+\frac{1}{2}mv_{min}^2\\ v_{min}=\sqrt{\frac{42}{1.88}}

Per il secondo esercizio, scusami di nuovo, più tardi o appena ho tempo ti rispondo 👍

MariannaPagano

SvolgoMath

Questo considerando che la velocità in x=0 è nulla, giusto?

SvolgoMath

MariannaPagano Sì, stiamo considerando v_0=0 mi sono dimenticato di scriverlo, perché stiamo valutando la velocità minima che deve possedere il corpo a x=2 - ovvero indirettamente anche l'energia, energia che dovrà essere uguale per ogni x, anche a x=0 (che corrisponde a un'ascissa precisa in cui U=0 ed è molto comodo valutarlo qui, visto che capiamo immediatamente che l'energia del sistema "minima" è banalmente 0, somma di energia cinetica "minima" e potenziale valutato all'ascissa 0).

Per il secondo esercizio, non mi ricordavo le formule di termodinamica, ma ChatGPT sì.
Ho posto la domanda a lui e mi ha risposto correttamente, non dovrebbero esserci errori:

Per determinare il calore scambiato dal gas perfetto biatomico durante la trasformazione data dall'equazione TV^{-2} = \text{costante} , dobbiamo innanzitutto comprendere le proprietà della trasformazione e come esse influenzano il calore scambiato.

Passo 1: Determinare la natura della trasformazione

La relazione TV^{-2} = \text{costante} indica che il prodotto tra la temperatura e il volume alla potenza di -2 rimane costante. Possiamo scrivere la trasformazione come:
T V^{-2} = C
dove C è una costante.

Passo 2: Determinare come variano i parametri di stato

Dato che T_1 V_1^{-2} = T_2 V_2^{-2} , possiamo scrivere:
335.8 \cdot V_1^{-2} = 535.2 \cdot V_2^{-2}

Da qui, ricaviamo che:
V_2 = V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}
V_2 = V_1 \sqrt{\frac{535.2}{335.8}}

Passo 3: Energia interna del gas biatomico

Per un gas perfetto biatomico, l'energia interna dipende solo dalla temperatura e può essere espressa come:
U = \frac{5}{2} nRT

La variazione dell'energia interna (\Delta U) tra i due stati sarà:
\Delta U = \frac{5}{2} nR (T_2 - T_1)

Passo 4: Lavoro compiuto dal gas

Per determinare il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione, dobbiamo integrare:
dW = -P dV

Usiamo l'equazione di stato dei gas perfetti PV = nRT , possiamo scrivere:
P = \frac{nRT}{V}

Poiché T V^{-2} = \text{costante} :
T = \frac{\text{costante}}{V^2}

Sostituendo T nell'equazione per P :
P = \frac{nR \cdot \frac{\text{costante}}{V^2}}{V} = \frac{nR \cdot \text{costante}}{V^3}

Quindi:
dW = - \frac{nR \cdot \text{costante}}{V^3} dV

Passo 5: Calcolo del lavoro e del calore

Per calcolare il lavoro compiuto durante la trasformazione, integriamo da V_1 a V_2 :
W = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{nR \cdot \text{costante}}{V^3} dV

L'integrale è:
W = -nR \cdot \text{costante} \left[ -\frac{1}{2V^2} \right]_{V_1}^{V_2}

Sostituendo la costante \text{costante} = T_1 V_1^{-2} o T_2 V_2^{-2} :
W = nR T_1 V_1^{-2} \left( \frac{1}{2V_2^2} - \frac{1}{2V_1^2} \right)

Poiché T_1 V_1^{-2} = T_2 V_2^{-2} :
W = \frac{1}{2} nR (T_2 - T_1)

Passo 6: Calore scambiato

Usiamo la prima legge della termodinamica:
\Delta U = Q - W

Da cui:
Q = \Delta U + W
Q = \frac{5}{2} nR (T_2 - T_1) + \frac{1}{2} nR (T_2 - T_1)
Q = 3 nR (T_2 - T_1)

Calcolo finale

Sostituendo i valori di T_1 , T_2 e R :
Q = 3 \cdot 1 \cdot 8.314 \cdot (535.2 - 335.8)
Q = 3 \cdot 8.314 \cdot 199.4

MariannaPagano

SvolgoMath

Ottimo, grazie per la spiegazione!