Esercizio 1

Un corpo puntiforme di massa m=1,88 Kg è vincolato a muoversi lungo una guida rettilinea orizzontale liscia sotto l'azione della forza F(x)= -x³+4x, ove la forza è espressa in Newton e x è la coordinata cartesiana espressa in metri rispetto a un asse cartesiano lungo la guida.
Qual è il modulo della velocità minima che il corpo deve avere quando si trova nel punto di coordinate x=2m affinché esso riesca a raggiungere il punto di ascissa x=-2m?
(suggerimento: si studino gli eventuali punti di equilibrio) [soluzione: v=2,063m/s]

Svolgimento: Per lo studio dei punti di equilibrio si pone F(x)=0, per cui risulta x=2m, x=0 e x=-2m.
Dopodichè credo si debba applicare il teorema delle forze vive, per cui il lavoro compiuto dalla forza è uguale alla differenza di enercia cinetica lungo il percorso.
Comunque provi a fare i calcoli, non riesco a trovarmi con il risultato.

Esercizio 2 (termodinamica):

Una mole di gas perfetto biatomico è sottoposta ad una trasformazione di equazione TV^-2=cost (T è la temperatura e V il volume) da uno stato di equilibrio alla temperatura T1=335,8 K ad un nuovo stato di equilibrio alla temperatura T2=535,2K.
Determinare il calore scambiato dal gas espresso in Joule.
Per la costante dei gas, si usi il valore R=8,314 J/(K*mol)
[Soluzione: Q=4973,43 J]

$$U(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2$$
Inoltre, i punti in cui la forza è nulla sono i punti di equilibrio del sistema, e sono banalmente $x=0,x=\pm2$, e sostituendo questi valori alla $U(x)$ ci troviamo:
$$U(-2)=-4J\\ U(2)=-4J\\ U(0)=0J$$
Per essere sicuri che il corpo da $x=2$ arrivi a $x=-2$ dobbiamo passare per $x=0$ che rappresenta idealmente una "barriera di potenziale" da sorpassare. Per essere sicuri che possiamo superarla, l'energia totale del sistema a $x=2$ deve essere almeno uguale a quella a $x=0$ (l'energia minima di un sistema è quella per cui la sua energia cinetica è nulla)
Possiamo a questo punto sfruttare il teorema di conservazione dell'energia meccanica:
$$E_{x=0}=E_{x=2}\\ U_{0}+K_{0}=U_{2}+K_{2}\\ 0+\frac{1}{2}mv_0^2=-4J+\frac{1}{2}mv_{min}^2\\ v_{min}=\sqrt{\frac{42}{1.88}}$$

Per il secondo esercizio, scusami di nuovo, più tardi o appena ho tempo ti rispondo

MariannaPagano Sì, stiamo considerando $v_0=0$ mi sono dimenticato di scriverlo, perché stiamo valutando la velocità minima che deve possedere il corpo a $x=2$ - ovvero indirettamente anche l'energia, energia che dovrà essere uguale per ogni x, anche a $x=0$ (che corrisponde a un'ascissa precisa in cui $U=0$ ed è molto comodo valutarlo qui, visto che capiamo immediatamente che l'energia del sistema "minima" è banalmente $0$, somma di energia cinetica "minima" e potenziale valutato all'ascissa 0).

Per il secondo esercizio, non mi ricordavo le formule di termodinamica, ma ChatGPT sì.
Ho posto la domanda a lui e mi ha risposto correttamente, non dovrebbero esserci errori:

Per determinare il calore scambiato dal gas perfetto biatomico durante la trasformazione data dall'equazione $TV^{-2} = \text{costante}$, dobbiamo innanzitutto comprendere le proprietà della trasformazione e come esse influenzano il calore scambiato.

Passo 1: Determinare la natura della trasformazione

La relazione $TV^{-2} = \text{costante}$ indica che il prodotto tra la temperatura e il volume alla potenza di -2 rimane costante. Possiamo scrivere la trasformazione come:
$T V^{-2} = C$
dove $C$ è una costante.

Passo 2: Determinare come variano i parametri di stato

Dato che $T_1 V_1^{-2} = T_2 V_2^{-2}$, possiamo scrivere:
$335.8 \cdot V_1^{-2} = 535.2 \cdot V_2^{-2}$

Da qui, ricaviamo che:
$V_2 = V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$V_2 = V_1 \sqrt{\frac{535.2}{335.8}}$

Passo 3: Energia interna del gas biatomico

Per un gas perfetto biatomico, l'energia interna dipende solo dalla temperatura e può essere espressa come:
$U = \frac{5}{2} nRT$

La variazione dell'energia interna ($\Delta U$) tra i due stati sarà:
$\Delta U = \frac{5}{2} nR (T_2 - T_1)$

Passo 4: Lavoro compiuto dal gas

Per determinare il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione, dobbiamo integrare:
$dW = -P dV$

Usiamo l'equazione di stato dei gas perfetti $PV = nRT$, possiamo scrivere:
$P = \frac{nRT}{V}$

Poiché $T V^{-2} = \text{costante}$:
$T = \frac{\text{costante}}{V^2}$

Sostituendo $T$ nell'equazione per $P$:
$P = \frac{nR \cdot \frac{\text{costante}}{V^2}}{V} = \frac{nR \cdot \text{costante}}{V^3}$

Quindi:
$dW = - \frac{nR \cdot \text{costante}}{V^3} dV$

Passo 5: Calcolo del lavoro e del calore

Per calcolare il lavoro compiuto durante la trasformazione, integriamo da $V_1$ a $V_2$:
$W = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{nR \cdot \text{costante}}{V^3} dV$

L'integrale è:
$W = -nR \cdot \text{costante} \left[ -\frac{1}{2V^2} \right]_{V_1}^{V_2}$

Sostituendo la costante $\text{costante} = T_1 V_1^{-2}$ o $T_2 V_2^{-2}$:
$W = nR T_1 V_1^{-2} \left( \frac{1}{2V_2^2} - \frac{1}{2V_1^2} \right)$

Poiché $T_1 V_1^{-2} = T_2 V_2^{-2}$:
$W = \frac{1}{2} nR (T_2 - T_1)$

Passo 6: Calore scambiato

Usiamo la prima legge della termodinamica:
$\Delta U = Q - W$

Da cui:
$Q = \Delta U + W$
$Q = \frac{5}{2} nR (T_2 - T_1) + \frac{1}{2} nR (T_2 - T_1)$
$Q = 3 nR (T_2 - T_1)$

Calcolo finale

Sostituendo i valori di $T_1$, $T_2$ e $R$:
$Q = 3 \cdot 1 \cdot 8.314 \cdot (535.2 - 335.8)$
$Q = 3 \cdot 8.314 \cdot 199.4$

SvolgoMath

Ottimo, grazie per la spiegazione!