Kingfisher Il dominio di questa funzione è il sistema:
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^2+1}+x>0\\
\sqrt{x^2+1}-x>0 \\
x^2+1\geq0
\end{matrix}\right. ma non lasciarti trarre in inganno:
La prima disequazione vale \forall x \in \mathbb{R} in quanto, se sposti la x a destra, senza nemmeno fare nessun calcolo - pure valutazione qualitativa - è facile convincersi che la disequazione è sempre verificata!
Così come anche la seconda disequazione, è chiaro che \sqrt{x^2+1}>x sempre! E' immediato ed evidente che vale \forall x \in \mathbb{R}.
La terza disequazione invece sappiamo tutti che vale anch'essa \forall x \in \mathbb{R} visto che ha \Delta < 0 e la disequazione da risolvere ha segno \geq 0.
Si evince che il dominio è tutto \mathbb{R}.
La dimostrazione che si tratta di una funzione costante risiede nel fatto che, se si applicano le varie proprietà dei logaritmi, perveniamo a:
f(x)=\log_a(\sqrt{x^2+1}+x)+\log_a(\sqrt{x^2+1}-x)\to\\
f(x)=\log_a((\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x))\to\\
f(x)=\log_a(x^2+1-x^2)\to\\
f(x)=\log_a(1)\to\\
f(x)=0 \hspace{0.4cm}\forall a>1
Ed ecco dimostrato che è una funzione costante 🙂
Se hai dubbi al riguardo, o se ti è tutto chiaro, puoi lasciare una risposta sotto questa discussione 👍
