Fritz Ciao e benvenuto nel forum!

Come ho detto ad altri nel forum, vi ricordo di leggere e rispettare tutti i vari punti del regolamento, tra cui quello di scrivere per intero la traccia scritta, e poi se volete caricare anche la foto per rendere più chiara la traccia (magari ci sono grafici o disegni utili per capire il problema).

Allora, le domande sono:

• Determina la misura della corda staccata sulla parabola di equazione $x=-y^2+4y$ dalla retta di equazione $y=2x$.
• Determina i vertici del quadrato inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione $y=-x^2+2x$ e dall'asse x.
• Scrivi l'equazione della parabola, con asse parallelo all'asse y, che ha vertice in $V(-2,-1)$ ed è tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Come cambierebbe la risposta se l'asse della parabola fosse parallelo all'asse x?

Iniziamo:

1. Si risolve subito questo, devi determinare i due punti di intersezione risolvendo il sistema, e da qui calcoli la distanza tra i due punti con la formula di Pitagora
   $$\left\{\begin{matrix} x=-y^2+4y \\ y=2x \end{matrix}\right.\to \left\{\begin{matrix} x=-(2x)^2+4(2x) \\ y=2x \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix} x=-4x^2+8x \\ y=2x \end{matrix}\right.$$ e da qui ti ricavi:$$4x^2-7x=0 \to x(4x-7)=0\to x_0=0,x_1=\frac{7}{4}\\ y_0=0,y_1=\frac{7}{2}$$ Ora calcoliamoci la distanza e abbiamo finito:$$d=\sqrt{\frac{7^2}{4^2}+\frac{7^2}{2^2}}=\sqrt{\frac{7^2+4*7^2}{4^2}}=\sqrt{\frac{5*7^2}{4^2}}=\frac{7}{4}\sqrt{5}$$

2. Questo richiede un po' di attenzione: ti serve capire chi è il quadrato inscritto in quel segmento parabolico, ti allego uno screen del segmento parabolico che stiamo considerando:
   
   Sappiamo che un quadrato è un quadrato quando ha tutti e 4 i lati della stessa lunghezza. Quello che si fa dunque è trovare i 4 vertici tali per cui le ascisse e ordinate rispettino questa condizione. Da notare che ci troviamo interamente nel primo quadrante, dunque tutti i vertici devono rispettare questa condizione di base $$x \geq 0, y\geq0$$ Inoltre, per il punto generico $P(x_0,y_0)$ basta che la sua altezza sia uguale alla distanza dal punto $P'(x_1,y_0)$ e siamo a posto:
   $$h=y, d=x_1-x_0$$ dove, visto che la parabola è descritta dall'equazione $y=-x^2+2x$ i due punti $x_1$ e $x_0$ sono $$x^2-2x+y=0 \to x=\frac{2\pm \sqrt{4-4y}}{2}=1\pm \sqrt{1-y}$$ ovviamente assegneremo $x_0=1- \sqrt{1-y},x_1=1+\sqrt{1-y}$.
   E adesso risolviamo l'uguaglianza che ho mostrato prima:$$y=1+\sqrt{1-y}-(1-\sqrt{1-y})\to y=2\sqrt{1-y}\to y^2=4-4y\to y^2+4y-4=0\\\to y=\frac{-4\pm \sqrt{16+16}}{2}=\frac{-4\pm4\sqrt2}{2}=-2\pm2\sqrt2$$ Ovviamente scarta la soluzione negativa (ricordati le condizione di base!) e da qui il proseguimento dovrebbe essere facile: ti ricavi le due ascisse relative all'ordinata trovata, e hai i due vertici in alto, e poi i vertici in basso li trovi alla stessa ascissa di quelli trovati ora, ma ad altezza 0 perchè siamo sull'asse x.

3. Ti ha detto tutto, vertice e tangenza a una retta, che è $y=x$, dov'è il problema?
   L'idea di fondo è risolvere parzialmente un sistema di due equazioni a 3 incognite, così ti esprimi l'equazione della parabola in una sola variabile. E da qui imporre al sistema parabola-retta $\Delta=0$ così imponi condizione di tangenza: $$\left\{\begin{matrix} \frac{-b}{2a}=-2 \\ \frac{4ac-b^2}{4a}=-1 \end{matrix}\right.\to \left\{\begin{matrix} b=4a \\ \frac{4ac-16a^2}{4a}=-1 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix} b=4a \\ c-4a=-1 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix} b=4a \\ c=4a-1 \end{matrix}\right.$$ così ora la parabola te la puoi esprimere come $y=ax^2+4ax+4a-1$
   A questo punto imponi condizione di tangenza al sistema parabola-retta:$$\\ \left\{\begin{matrix} y=ax^2+4ax+4a-1 \\ y=x \end{matrix}\right.\to \left\{\begin{matrix} x=ax^2+4ax+4a-1 \\ y=x \end{matrix}\right.\\$$
   E adesso $\Delta = 0$:
   $$\Delta=0 \to (4a-1)^2-4a(4a-1)=0\to 16a^2+1-8a-16a^2+4a=0\to -4a+1=0\to a=\frac{1}{4}$$ e dal sistema di prima ricavi subito $b$ e $c$.
   Per la versione non parallela all'asse y ripeti gli stessi e identici procedimenti, ma con le formule del vertice nel primissimo sistema ovviamente cambiate

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