yellowsubmarine Ciao e benvenuto nel forum!

Allora la funzione che ci viene data è la seguente: $$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{ax-3} \hspace{1cm} se\hspace{0.5cm} x\leq 0\\ x^2+3x+b \hspace{1cm} se\hspace{0.5cm} x> 0 \end{matrix}\right.$$ e la richiesta è quella di trovare i valori di $a$ e $b$ tali per cui la funzione è continua in $x=0$ e ammette asintoto verticale in $x=-3$.

Per risolvere l'esercizio è di fondamentale importanza aver approfondito tutto ciò che c'è da sapere sulla teoria concernente sia discontinuità/continuità di una funzione, che presenza di asintoti orizzontali/verticali/obliqui di una funzione. Se hai dubbi al riguardo puoi chiedere tranquillamente anche quello, ma apri una nuova discussione (se ne senti il bisogno).

Incominciamo:

1. Per la prima condizione, ossia funzione continua in $x=0$ basta usare la particolare definizione di continuità di una funzione, quella secondo cui una funzione che ammette stesso valore rispettivamente a limite sinistro e destro di un punto $x_0$ viene definita per l'appunto continua. Basta verificare questo! In formule equivale a verificare che:$$\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)$$Se viene rispettata questa condizione, allora abbiamo continuità della funzione nel punto $x_0$.
   Facciamolo:$$\\\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{x-1}{ax-3}=\lim_{x\rightarrow 0^+}x^2+3x+b\Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}=b$$
   E ci siamo ricavati il parametro $b$ (Occhio, non in tutti gli esercizi capita di trovare sin da subito uno dei due parametri, molto spesso si deve risolvere il sistema con le due equazioni).

2. Per la seconda condizione, come sempre ci viene in aiuto la teoria, e un asintoto verticale è presente quando l'ascissa relativa all'asintoto non appartiene al dominio. Trattandosi di una frazione, l'unico caso in cui un punto può non appartenere al dominio è quando il denominatore fa $0$. E allora sostituiamo al denominatore il punto $x=-3$ in cui desideriamo che ci sia l'asintoto verticale, e troviamo il valore di $a$ che annulla il denominatore. Avremo:$$ax-3=0 \rightarrow -3a-3=0 \rightarrow a=-1$$E ci siamo trovati anche il parametro $a$

Da qui ti ricavi la funzione $f(x)$ sostituendo i valori $a$ e $b$ appena trovati, e hai la funzione che rispetta le condizioni ricercate dalla traccia.

Se hai dubbi puoi tranquillamente rispondere in questa discussione