Si certo!
Allora, una disequazione di secondo grado è un'espressione che può rientrare in uno di questi quattro casi generali:\\ax^2+bx+c>0 \hspace{1cm} ax^2+bx+c<0\\
ax^2+bx+c\geq 0 \hspace{1cm} ax^2+bx+c\leq 0 E la scelta delle soluzioni dipende da vari fattori:
- Il segno del coefficiente a che può essere positivo o negativo (escludiamo a=0 in quanto non si tratterebbe più di una disequazione di secondo grado);
- Il valore del discriminante, ovvero il \Delta (delta), il cui valore potrà essere positivo, negativo, o anche pari a 0. (OCCHIO: qui che il delta sia negativo, non mi dice nulla, a differenza delle equazioni di secondo grado!);
- Il segno della disequazione, ovvero se ci sta chiedendo di determinare le soluzioni >0,\geq0,<0, \leq 0.
In base a questi tre "parametri" avremo una situazione diversa, e sarà cura nostra capire (le prime volte sicuramente attraverso l'uso di una tabella) come riconoscere le soluzioni, e soprattutto quali sono.
Qui ti lascio il grafico che vale solo per a>0, in quanto per a<0 è inutile scomodarsi di farne un altro, in quanto basta semplicemente cambiare segno a tutta la disequazione, e avrai la situazione per a>0 🙂
La dimostrazione del perché la tabella "funziona così" è di immediata comprensione analizzando il grafico con le parabole, ma se stai studiando le disequazioni di secondo grado, con molta probabilità ancora dovrai vedere le parabole, dunque evito di entrare nel dettaglio: se vuoi una spiegazione comunque fammelo sapere!
Esempio di risoluzione:
- \\9x^2+25\geq 0\\\\
\Delta=b^2-4ac=0-4(9)(25)<0\\ Ovvero la soluzione, se fai riferimento alla tabella noti che ci troviamo ultima colonna, seconda riga, ha soluzione proprio \forall x \in \mathbb{R}
- \\3x^2+2x-1\geq 0\\\\
\Delta=b^2-4ac=4-4(3)(-1)=16\\Qui invece abbiamo \Delta>0, ci troviamo nella prima colonna, seconda riga, ovvero dovremo determinare questa volta le due x_1 e x_2 e poi determinare se prendere soluzioni esterne o interne.
Quindi prima ci risolviamo la equazione di secondo grado associata:
3x^2+2x-1=0\rightarrow x=\frac{-2\pm4}{6}\\\\
\rightarrow x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=\frac{1}{3}Una volta determinati i due "paletti" vediamo la tabella, e ci dice che sono esterne inclusi i due punti, dunque la soluzione della disequazione sarà:
x\leq -1 \cup x\geq \frac{1}{3}
Una volta presa l'abitudine con la tabella, a furia di farne tante (e se sei inesperto ancora, ti invito a farne quante più ne puoi, così ti svincoli dalla tabella) vedrai che verrà automatico, e saranno facilissime da risolvere!
