luca1122 Innanzitutto benvenuto nel forum Luca!
Ti invito a controllare il Regolamento del forum, così come l'articolo dove puoi imparare come scrivere le tracce in LaTeX.
Allora vediamo punto per punto:
a) Basta imporre il passaggio per il punto P, ovvero:
\\1=-(-1)^2+2(k-1)(-1)-k \\
1=-1-2(k-1)-k\\
1=-1-2k+2-k\\
1-1=-3k\\
-3k=0\rightarrow k=0
b) L'asse di simmetria di una parabola con asse parallelo all'asse y (cioè il nostro caso perché è della forma y=ax^2+bx+c) è descritto dall'equazione x=-\frac{b}{2a}. Dunque deve valere contemporaneamente sia x=-\frac{2(k-1)}{-2}=5 che x=5 come richiesto dalla traccia:
\\-\frac{2(k-1)}{-2}=5\\\\
k-1=5 \\k=6\\
c) Per avere l'ordinata del vertice pari a 5 basta imporre come abbiamo fatto prima la seguente equazione (tanto sappiamo qual'è il valore parametrico dell'ordinata del vertice):
\\-\frac{\Delta}{4a}=5\rightarrow -\frac{b^2-4ac}{4a}=5\rightarrow \frac{4ac-b^2}{4a}=5\\\\
\frac{4(-1)(-k)-[2(k-1)]^2}{4(-1)}=5\rightarrow \frac{4k-(2k-2)^2}{-4}=5\\\\
4k-(4k^2+4-8k)=-20\rightarrow 4k-4k^2-4+8k=-20\\
4k^2-12k-16=0\rightarrow k^2-3k-4=0\\
k=\frac{3\pm\sqrt{9-4(1)(-4)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}=-1,4
d) Per essere tangente a una retta particolare, il modo più immediato e generale possibile che viene in mente è verificare che il sistema tra retta e parabola dia discriminante pari a 0. Ovvero deve verificare che:
\\ \left\{\begin{matrix}
y=-x^2+2(k-1)x-k\\
y=x
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \Delta=0\\\\\\
-x^2+(2k-2)x-k=x\rightarrow x^2+(3-2k)x+k=0\\\\
\Delta=b^2-4ac=0\Leftrightarrow (3-2k)^2-4(k)=0\\
\rightarrow 9+4k^2-12k-4k=0\rightarrow 4k^2-16k+9=0\\\rightarrow k=\frac{16\pm\sqrt{16^2-4*4*9}}{8}=\frac{16\pm\sqrt{112}}{8}=\frac{16\pm4\sqrt{7}}{8}=\frac{4\pm\sqrt7}{2}
e) Il luogo descritto dai vertici delle parabole basta rimuovere la dipendenza dal parametro k mettendo a sistema sia l'ascissa che l'ordinata del vertice generico. Ovvero equivale a fare:
\\ \left\{\begin{matrix}
x=-\frac{2k-2}{-2}=k-1\\
y=\frac{4k-(2k-2)^2}{-4}=\frac{4k-4k^2-4+8k}{-4}=\frac{-4k^2+12k-4}{-4}=k^2-3k+1
\end{matrix}\right.
\\\\
\left\{\begin{matrix}
k=1+x\\
y=(1+x)^2-3(1+x)+1
\end{matrix}\right.\rightarrow y=1+x^2+2x-3-3x+1\\\\
...\rightarrow y=x^2-x-1
Spero sia tutto chiaro, se hai dubbi, fammelo sapere con una risposta 👍
