La ricerca delle 4 circonferenze è immediata: ricordando la teoria, se sono tangenti sia all'asse x che all'asse y sai che la circonferenza ha il suo centro sulla retta y=x o sulla retta y=-x. Dunque le 4 equazioni si trovano immediatamente senza scomodare calcoli astronomici:
Ora ci chiede di determinare l'area di quel "romboide" che si forma al centro.
Possiamo pensare di studiarci solamente una porzione di questo romboide (magari la sua "quarta parte", visto che poi una volta valutata, possiamo moltiplicare per 4 e ricavarci l'area totale, per la simmetria)
Allo scopo, possiamo pensare di "limitarci" al quadrato che contiene una circonferenza, valutarne l'area, e sottrargli l'area della circonferenza, e infine dividere per 4 (visto che ci serve l'area di un solo angolo, no di tutti e 4, in figura magari si capisce meglio il perché):
Quindi, l'area del quadrato è 6*6=36 mentre l'area della circonferenza è \pi 3^2=9\pi dunque l'area dell'angolo sotto a sinistra sarà \frac{36-9\pi}{4}
Ma tanto, abbiamo detto che poi dobbiamo comunque moltiplicare di nuovo per 4 visto che ci serve l'area del romboide sotto, quindi l'area del romboide sarà 36-9\pi \approx 7.74
Per il quadrato inscritto invece, questo richiede un po' di attenzione, perché non è tanto chiaro!
Dobbiamo infatti dapprima determinare qual è la lunghezza del lato di questo quadrato inscritto nel romboide, e per questo ci servono le equazioni scritte sopra. Dovremo infatti imporre che almeno due lati di questo "quadrato" siano per l'appunto uguali!
Dalla prima equazione ci ricaviamo y=3-\sqrt{6x-x^2}, dovremo imporre allora:
2y=2x\to 2(3-\sqrt{6x-x^2})=2x\to \\2y=2x\to 6-2\sqrt{6x-x^2}=2x\to \\
6-2x=2\sqrt{6x-x^2}\to \\36+4x^2-24x=4(6x-x^2)\to \\36+4x^2-24x=24x-4x^2\to \\
8x^2-48x+36=0\to\\
2x^2-12x+9=0\to\\
x=3-\frac{3}{\sqrt2}
NOTA: l'altra soluzione dell'equazione di secondo grado va scartata perché non rientra nel dominio della radice quadrata.
E abbiamo finito adesso, perché l'area sarà (2*(3-\frac{3}{\sqrt2}))^2=54-36\sqrt2
Se ti è tutto chiaro, o hai dubbi al riguardo, fammi sapere sempre sotto questa discussione! 😎
