Goniometria

Kingfisher

Determina il dominio e gli zeri della funzione y=

SvolgoMath

Per il dominio l'unica cosa a cui devi prestare attenzione è la radice quadrata, visto che l'argomento della funzione esponenziale (l'esponente) non richiede nessuna condizione di esistenza. Dunque il campo di esistenza della funzione lo si trova a partire da:
2 \tan^2 x- 2 \tan x \geq 0 e si risolve immediatamente:
\\2 \tan^2 x- 2 \tan x \geq 0\to 2 \tan x(\tan x -1) \geq 0\to \begin{matrix} 1.\tan x \geq0\\ 2.\tan x \geq 1 \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} 0\leq x \leq \frac{\pi}{2} \cup \pi \leq x \leq \frac{3}{2}\pi\\ \frac{\pi}{4}\leq x \leq \frac{\pi}{2} \cup \frac{5}{4}\pi \leq x \leq \frac{3}{2}\pi \end{matrix}Questa è lo studio del segno del "falso sistema" da risolvere sopra:

Come vedi, riporta come soluzione:
\frac{\pi}{4}+2k\pi\leq x \leq \pi+2k\pi \cup \frac{5}{4}\pi+2k\pi \leq x \leq 2\pi+2k\pi che può essere ulteriormente semplificata nel suo periodo principale come:
\frac{\pi}{4}+2k\pi\leq x \leq \pi+2k\pi E questo rappresenta il dominio della nostra funzione.
Gli zeri si trovano ponendo f (x)=0:
\\2^{\sqrt{2\tan^{2}x-2\tan x}}-4=0\to2^{\sqrt{2\tan^{2}x-2\tan x}}=2^2\rightarrow\\ \sqrt{2\tan^{2}x-2\tan x}=2\to 2\tan^2x-2\tan x-4=0\to \tan^2x-\tan x-2=0 Che ha come soluzioni:
\tan x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}\to \tan x=-1,\tan x =2Dunque, andando a cercare le soluzioni in x avremo:
\\x=\arctan (-1)=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=\arctan(2)+k\pi essendo la funzione tangente periodica di periodo \pi

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Kingfisher

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