Salve ragazzi/e questo è il mio primo messaggio qui. Ho bisogno di aiuto con questa equazione differenziale
y'=y^{-\frac{1}{3} }x
La traccia chiede: scrivete l'integrale generale, fate una verifica del risultato e determinate il campo di esistenza delle soluzioni.
L'ultima domanda mi ha messo un po' in crisi. Intanto vi faccio vedere come l'ho svolto
Integrale generale:
\int{y^{\frac{1}{3} } dy} = \int{x} dx
\frac{3y{\frac{4}{3}}}{4} = \frac{x^2}{2}+ C
y(x) = \left( \frac{2 }{3}x^2 +c \right)^{ \frac{3}{4} }
Verifica del risultato
y' = \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \left( \frac{2 }{3}x^2 +c \right)^{ -\frac{1}{4} } \frac{\cancel{4} }{ \cancel{3}}x = \left( \frac{2 }{3}x^2 +c \right)^{ -\frac{1}{4} } x
\left[ \left( \frac{2}{3}x^2 +c \right)^{\frac{3}{4} } \right]^{ -\frac{1}{3} } = \left( \frac{2 }{3}x^2 +c \right)^{ -\frac{1}{4} } x
CE soluzioni
qui ho qualche problema
y(x) = \left( \frac{2 }{3}x^2 +c \right)^{ \frac{3}{4} } \qquad \text{argomento} \ge 0
se c>0 \quad x^2 \ge -\frac{3}{2}c \quad \forall x \in \Bbb R
se c=0 \quad \frac{2}{3}x^2 \ge 0 \quad \forall x \in \Bbb R -\{0\}
se c<0 \quad x \ge \pm \sqrt{-\frac{3}{2}c}
Il Prof. mi dice che non va bene. Mi chiede di fissare il parametro libero con la condizione di Cauchy ad esempio o altre condizione.
Del CE non è soddisfatto.
Non riesco a capire dove sbaglio.
