Devo dimostrare che 5\sqrt{n}\log \left(n\right)-1\:=\:O\left(n-\sqrt{n}\right) . Quindi devo dimostrare che esistono due costanti c e n_0 per le quali 5\sqrt{n}\log \left(n\right)-1\le c\left(n-\sqrt{n}\right) \forall n\ge n_0 . Come posso farlo?
E che dire del seguente ragionamento, pensate che sia corretto?
5\sqrt{n}log \left(n\right)-1 \le 5\sqrt{n}log \left(n\right) . So \:\frac{5\sqrt{n}log \left(n\right)}{n-\sqrt{n}} tende a 0 per n sufficientemente grande, quindi esiste sicuramente un valore c che, a partire da quello specifico valore di n, sarà sempre maggiore di \:\frac{5\sqrt{n}log \left(n\right)}{n-\sqrt{n}} . In particolare, è sufficiente scegliere il valore più piccolo n_0 per il quale è vero che n>5\sqrt{n}log\left(n\right)+\sqrt{n}.
