Soluzione:
Per determinare l'area del triangolo ABF , dove A e B sono i punti di intersezione tra la retta x - 3y - 1 = 0 e la parabola x = -y^2 + 2y + 1 , e F è il fuoco della parabola, segui questi passaggi:
1. Trovare le coordinate dei punti di intersezione A e B
Le equazioni della retta e della parabola sono:
x - 3y - 1 = 0 \quad \text{(1)}
x = -y^2 + 2y + 1 \quad \text{(2)}
Dalla (1), otteniamo x = 3y + 1 . Sostituiamo questo valore di x nell'equazione della parabola (2):
3y + 1 = -y^2 + 2y + 1
Semplificando:
3y = -y^2 + 2y
y^2 + y = 0
y(y + 1) = 0
Da qui otteniamo due soluzioni: y = 0 e y = -1 .
- Per y = 0 , x = 1 , quindi il punto A(1, 0) .
- Per y = -1 , x = -2 , quindi il punto B(-2, -1) .
2. Trovare le coordinate del fuoco F della parabola
La parabola ha equazione x = -y^2 + 2y + 1 , che riscriviamo completando il quadrato:
x = -(y - 1)^2 + 2
Questa è una parabola con vertice V(2, 1) e fuoco F\left( \frac{7}{4}, 1 \right) .
3. Calcolare l'area del triangolo ABF
L'area del triangolo con vertici A(x_1, y_1) , B(x_2, y_2) , F(x_3, y_3) è data dalla formula:
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
Con A(1, 0) , B(-2, -1) , F\left( \frac{7}{4}, 1 \right) , otteniamo:
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(-1 - 1) + (-2)(1 - 0) + \frac{7}{4}(0 - (-1)) \right|
= \frac{1}{2} \left| -2 - 2 + \frac{7}{4} \right|
= \frac{1}{2} \times \frac{9}{4} = \frac{9}{8}
Quindi, l'area del triangolo ABF è \frac{9}{8} unità quadrate.
