Problema:
Nell’equazione in x k^2+k(x-2)=x(k+1)+3
determina i valori di k affinché la radice sia positiva.
Soluzione:
Hai l'equazione:
k^2 + k(x - 2) = x(k + 1) + 3
L'obiettivo è determinare i valori di k affinché la radice sia positiva.
Passaggi per risolvere l'equazione
Espandi entrambi i membri:
A sinistra:
k^2 + k(x - 2) = k^2 + kx - 2k
A destra:
x(k + 1) + 3 = xk + x + 3
L'equazione diventa:
k^2 + kx - 2k = xk + x + 3
Riorganizza i termini per isolare x :
kx - xk = x + 3 + 2k - k^2
I termini kx e xk si cancellano, e rimane:
0 = x + 3 + 2k - k^2
Quindi:
x = -(3 + 2k - k^2)
x = k^2 - 2k - 3
Ora, hai x = k^2 - 2k - 3 . Questa espressione rappresenta il valore di x .
3. Determina i valori di k affinché x sia positivo:
Per x > 0 :
k^2 - 2k - 3 > 0
Questa è una disequazione quadratica che possiamo risolvere:
k^2 - 2k - 3 = 0
Troviamo le radici usando la formula risolutiva:
k = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}
k = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}
k = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}
k = \frac{2 \pm 4}{2}
Le due soluzioni sono:
k = \frac{2 + 4}{2} = 3
k = \frac{2 - 4}{2} = -1
Quindi, k = 3 e k = -1 sono i punti di separazione tra cui x può cambiare segno.
4. Studio del segno:
Studiamo il segno di k^2 - 2k - 3 :
- Per k < -1 , k^2 - 2k - 3 > 0 .
- Per -1 < k < 3 , k^2 - 2k - 3 < 0 .
- Per k > 3 , k^2 - 2k - 3 > 0 .
Conclusione:
La radice x sarà positiva quando k < -1 oppure k > 3 .
Quindi i valori di k affinché la radice sia positiva sono k < -1 oppure k > 3 .
