Problema: È dato un quadrato di lato k. Prolungando i quattro lati, nello stesso verso, di un segmento x e congiungendo i quattro estremi, si ottiene un secondo quadrato. Determina il valore di x, in modo che l’area del secondo quadrato sia il quadruplo dell’area del primo.
Soluzione:
Primo quadrato: Ha lato k , quindi l'area è A_1 = k^2 .
Prolungamento dei lati: Prolungando ogni lato del quadrato di x , otteniamo i nuovi segmenti k + x e x .
Ipotenusa del secondo quadrato: Il lato del secondo quadrato è l'ipotenusa del triangolo rettangolo con cateti k + x e x . Quindi, il lato del secondo quadrato, chiamiamolo L , è dato da:
L = \sqrt{(k + x)^2 + x^2}
Condizione del problema: Ci viene detto che l'area del secondo quadrato è il quadruplo dell'area del primo quadrato. L'area del secondo quadrato è L^2 , e la condizione si esprime come:
L^2 = 4k^2
Sostituendo l'espressione di L^2 :
(k + x)^2 + x^2 = 4k^2
Sviluppiamo i quadrati:
(k + x)^2 = k^2 + 2kx + x^2
quindi l'equazione diventa:
k^2 + 2kx + x^2 + x^2 = 4k^2
Raccogliamo i termini:
k^2 + 2kx + 2x^2 = 4k^2
Portiamo tutto su un lato:
2x^2 + 2kx + k^2 - 4k^2 = 0
2x^2 + 2kx - 3k^2 = 0
- Risolviamo l'equazione quadratica: Dividiamo tutto per 2:
x^2 + kx - \frac{3k^2}{2} = 0
Ora risolviamo l'equazione quadratica con la formula risolutiva:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
dove a = 1 , b = k , e c = -\frac{3k^2}{2} . Sostituiamo i valori:
x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4(1)\left(-\frac{3k^2}{2}\right)}}{2(1)}
x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 + 6k^2}}{2}
x = \frac{-k \pm \sqrt{7k^2}}{2}
x = \frac{-k \pm \sqrt{7}k}{2}
Calcoliamo le soluzioni:
x_1 = \frac{-k + \sqrt{7}k}{2} = k\left(\frac{\sqrt{7} - 1}{2}\right)
x_2 = \frac{-k - \sqrt{7}k}{2} = k\left(\frac{-1 - \sqrt{7}}{2}\right)
Poiché x deve essere positivo, scegliamo la soluzione positiva:
x = k\left(\frac{\sqrt{7} - 1}{2}\right)
Conclusione:
Il valore di x che soddisfa la condizione del problema è x = k\left(\frac{\sqrt{7} - 1}{2}\right) .
