Fritz Ciao e benvenuto nel forum!
Come ho detto ad altri nel forum, vi ricordo di leggere e rispettare tutti i vari punti del regolamento, tra cui quello di scrivere per intero la traccia scritta, e poi se volete caricare anche la foto per rendere più chiara la traccia (magari ci sono grafici o disegni utili per capire il problema).
Allora, le domande sono:
- Determina la misura della corda staccata sulla parabola di equazione x=-y^2+4y dalla retta di equazione y=2x.
- Determina i vertici del quadrato inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione y=-x^2+2x e dall'asse x.
- Scrivi l'equazione della parabola, con asse parallelo all'asse y, che ha vertice in V(-2,-1) ed è tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Come cambierebbe la risposta se l'asse della parabola fosse parallelo all'asse x?
Iniziamo:
Si risolve subito questo, devi determinare i due punti di intersezione risolvendo il sistema, e da qui calcoli la distanza tra i due punti con la formula di Pitagora 🙂
\left\{\begin{matrix}
x=-y^2+4y \\
y=2x
\end{matrix}\right.\to
\left\{\begin{matrix}
x=-(2x)^2+4(2x) \\
y=2x
\end{matrix}\right. \to
\left\{\begin{matrix}
x=-4x^2+8x \\
y=2x
\end{matrix}\right. e da qui ti ricavi: 4x^2-7x=0 \to x(4x-7)=0\to x_0=0,x_1=\frac{7}{4}\\ y_0=0,y_1=\frac{7}{2} Ora calcoliamoci la distanza e abbiamo finito:d=\sqrt{\frac{7^2}{4^2}+\frac{7^2}{2^2}}=\sqrt{\frac{7^2+4*7^2}{4^2}}=\sqrt{\frac{5*7^2}{4^2}}=\frac{7}{4}\sqrt{5}
Questo richiede un po' di attenzione: ti serve capire chi è il quadrato inscritto in quel segmento parabolico, ti allego uno screen del segmento parabolico che stiamo considerando:
Sappiamo che un quadrato è un quadrato quando ha tutti e 4 i lati della stessa lunghezza. Quello che si fa dunque è trovare i 4 vertici tali per cui le ascisse e ordinate rispettino questa condizione. Da notare che ci troviamo interamente nel primo quadrante, dunque tutti i vertici devono rispettare questa condizione di base x \geq 0, y\geq0 Inoltre, per il punto generico P(x_0,y_0) basta che la sua altezza sia uguale alla distanza dal punto P'(x_1,y_0) e siamo a posto:
h=y, d=x_1-x_0 dove, visto che la parabola è descritta dall'equazione y=-x^2+2x i due punti x_1 e x_0 sono x^2-2x+y=0 \to x=\frac{2\pm \sqrt{4-4y}}{2}=1\pm \sqrt{1-y} ovviamente assegneremo x_0=1- \sqrt{1-y},x_1=1+\sqrt{1-y}.
E adesso risolviamo l'uguaglianza che ho mostrato prima:y=1+\sqrt{1-y}-(1-\sqrt{1-y})\to y=2\sqrt{1-y}\to y^2=4-4y\to y^2+4y-4=0\\\to y=\frac{-4\pm \sqrt{16+16}}{2}=\frac{-4\pm4\sqrt2}{2}=-2\pm2\sqrt2 Ovviamente scarta la soluzione negativa (ricordati le condizione di base!) e da qui il proseguimento dovrebbe essere facile: ti ricavi le due ascisse relative all'ordinata trovata, e hai i due vertici in alto, e poi i vertici in basso li trovi alla stessa ascissa di quelli trovati ora, ma ad altezza 0 perchè siamo sull'asse x.
Ti ha detto tutto, vertice e tangenza a una retta, che è y=x, dov'è il problema?
L'idea di fondo è risolvere parzialmente un sistema di due equazioni a 3 incognite, così ti esprimi l'equazione della parabola in una sola variabile. E da qui imporre al sistema parabola-retta \Delta=0 così imponi condizione di tangenza: \left\{\begin{matrix}
\frac{-b}{2a}=-2 \\
\frac{4ac-b^2}{4a}=-1
\end{matrix}\right.\to
\left\{\begin{matrix}
b=4a \\
\frac{4ac-16a^2}{4a}=-1
\end{matrix}\right. \to
\left\{\begin{matrix}
b=4a \\
c-4a=-1
\end{matrix}\right. \to
\left\{\begin{matrix}
b=4a \\
c=4a-1
\end{matrix}\right. così ora la parabola te la puoi esprimere come y=ax^2+4ax+4a-1
A questo punto imponi condizione di tangenza al sistema parabola-retta:\\ \left\{\begin{matrix}
y=ax^2+4ax+4a-1 \\
y=x
\end{matrix}\right.\to
\left\{\begin{matrix}
x=ax^2+4ax+4a-1 \\
y=x
\end{matrix}\right.\\
E adesso \Delta = 0:
\Delta=0 \to (4a-1)^2-4a(4a-1)=0\to 16a^2+1-8a-16a^2+4a=0\to -4a+1=0\to a=\frac{1}{4} e dal sistema di prima ricavi subito b e c.
Per la versione non parallela all'asse y ripeti gli stessi e identici procedimenti, ma con le formule del vertice nel primissimo sistema ovviamente cambiate 🙂
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