Ciao! Allora, le equazioni di secondo grado sono espressioni del tipo:
ax^2+bx+c=0
e nei vari casi in cui b=0 o c=0, possono essere pure o spurie...
La formula più importante da ricordare, per risolvere qualsiasi equazione di secondo grado, è la seguente:
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} perché da questa formula puoi sempre "farla franca".
Dico sempre "farla franca" perché se sei astuto in realtà, puoi anche ricorrere a modi più veloci e semplici di risolvere una qualsiasi equazione di secondo grado. Esempio, prendiamo il numero 152.
(3x+1)^2=4 questa risolve immediatamente senza ricorrere alla formula in questo modo:
(3x+1)^2=4 \to 3x+1=\pm\sqrt4=\pm2 \to 3x=\pm 2 -1 \to x=\frac{\pm2 -1}{3}\\
x_0=\frac{-2-1}{3}=-1, x_1=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}
In alternativa (procedimento più lungo, ma vai sempre sul sicuro) ti riscrivi l'espressione nella forma ax^2+bx+c=0 e da qui applichi la formula:
(3x+1)^2=4 \to 9x^2+1+6x=4 \to 9x^2+6x-3=0 \to 3x^2+2x-1=0\\
x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6}=\frac{-2\pm4}{6}\\
x_0=\frac{-2-4}{6}=-1, x_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} Come vedi, i risultati sono gli stessi, solo che abbiamo allungato inutilmente tutto. Nel primo caso infatti, abbiamo semplicemente applicato la radice quadrata ad ambo i membri, e per farlo correttamente devi considerare che vi sono due soluzioni: una positiva e una negativa (e quindi includiamo questo aggiungendo il \pm ) mentre nel secondo caso, per manipolazione algebrica riportiamo tutto alla forma classica di equazione di secondo grado, e da qui "riconosciuti i tre parametri a,b,c" possiamo procedere con l'applicazione della formula che ti ho scritto all'inizio.
Davvero, è solo questo. Nel tempo affinerai poi l'applicazione nel caso di equazioni pure/spurie. Esempio:
x^2-5x=0 Questa equazione di secondo grado si risolve immediatamente: infatti qualsiasi equazione di secondo grado che presenta c=0 ammette sempre 2 soluzioni reali, e si può procedere in due modi:
x^2-5x=0 \to x(x-5)=0 \to x_0=0, x_1=5 oppure:
x^2-5x=0 \to x=\frac{5\pm\sqrt{25-0}}{2}=\frac{5\pm5}{2}\\
x_0=\frac{5-5}{2}=0,x_1=\frac{5+5}{2}=5
Ovviamente, la prima strada è la migliore da fare, ma puoi anche seguire la seconda per avere conferma o se magari non sei sicuro. Come vedi, puoi sempre applicare la formula che ti ho riportato all'inizio: infatti
- Se \Delta=b^2-4ac>0 sai che l'equazione di secondo grado ammette 2 soluzioni reali, e quindi la prima formula non trovi problemi ad applicarla, visto che la radice quadrata a denominatore contiene radicando positivo;
- Se \Delta=b^2-4ac=0 sai che l'equazione di secondo grado ammette 1 soluzione reale, e dunque la radice quadrata a numeratore te la trovi praticamente uguale a 0, e quindi avrai che l'unica x che risolve l'equazione sarà x=\frac{-b\pm0}{2a}=\frac{-b}{2a}
- Se \Delta=b^2-4ac<0 sai che l'equazione di secondo grado non ammette nessuna soluzione reale, e questo si riflette anche nella radice quadrata a numeratore, che visto dovrà valutare la radice quadrata di un numero negativo ti trovi "bloccato" nel farla, visto che la radice quadrata può essere applicata solo a numeri positivi.
