Ti svolgo l'esercizio per la funzione f visto che per g i passi sono gli stessi:
La funzione f(x)=x+\sin x assume valori agli estremi dell'intervallo [0,\pi ]:
f(0)=0+\sin 0 = 0\\
f(\pi)=\pi + \sin \pi = \pi E inoltre, la funzione f(x) è crescente nell'intervallo [0,\pi ] visto che ha come derivata f'(x)=1+\cos x che è sempre positiva (o al più uguale a 0) per ogni valore di x \in \mathbb{R}. Inoltre, i valori assunti da f(x) in quell'intervallo, essendo crescente, vuol dire che copre tutti i valori compresi tra f(0) e f(\pi) (ovvero 0 e \pi), e dunque si è appena concluso che l'intervallo è sicuramente f-invariante.
Il limite \lim _{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim _{x \to +\infty}\frac{x+\sin x}{x} sfruttando il teorema menzionato nella traccia non è risolvibile (nemmeno con la seconda funzione) per i motivi che in questo video di Elia Bombardelli ha brillantemente mostrato (vedi, verso la fine del video). Ti consiglio di darci un'occhiata:
Il modo più semplice per risolvere quel limite è banalmente spezzare il numeratore in questo modo:
\lim _{x \to +\infty}\frac{x+\sin x}{x}=\lim _{x \to +\infty}1+\frac{\sin x}{x} = 1 Visto che \lim _{x \to +\infty}\frac{\sin x}{x} fa 0 (funzione a numeratore limitata in un intervallo di valori, e denominatore che tende a infinito).
