è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite: vediamo innazitutto il valore del det(A) come si comporta a seconda del valore di h:
\begin{vmatrix}
2 & 0 & h\\
3 & h & -2\\
h & 0 & 2
\end{vmatrix} \to |4h-(h^3)|=|4h-h^3|\neq0 ovvero:
4h-h^3=0 \to h(4-h^2)=0 \to \begin{matrix}
h=0\\
h=-2\\
h=2
\end{matrix} dunque, per questi valori di h il sistema sicuramente non ha una sola soluzione, dunque può essere o con infinite soluzioni, o senza nessuna soluzione (aka impossibile).
Vediamo dove ci troviamo a seconda dei vari casi:
h=0 \to \left\{\begin{matrix}
2x + hz = 1
\\
3x + hy -2z= 2
\\
hx +2z =1
\end{matrix}\right. \to
\left\{\begin{matrix}
2x=1\\
3x-2z=2\\
2z=1
\end{matrix}\right. come vedi, il sistema che ci viene fuori "non ha senso" perché se ti espliciti la x e la z dalla prima e dall'ultima equazione, vedi che la seconda equazione non viene rispettata, dunque per h=0 il sistema è impossibile.
h=-2 \to \left\{\begin{matrix}
2x + hz = 1
\\
3x + hy -2z= 2
\\
hx +2z =1
\end{matrix}\right. \to
\left\{\begin{matrix}
2x-2z=1\\
3x-2y-2z=2\\
-2x+2z=1
\end{matrix}\right. già da come sono impostate la prima e la terza equazione, possiamo concludere che ci sono infinite soluzioni possibili del sistema, perché q<p (dove per q intendiamo il rango della matrice incompleta, e per p il rango della matrice completa).
Stessa cosa anche per:
h=2 \to \left\{\begin{matrix}
2x + hz = 1
\\
3x + hy -2z= 2
\\
hx +2z =1
\end{matrix}\right. \to
\left\{\begin{matrix}
2x+2z=1\\
3x+2y-2z=2\\
2x+2z=1
\end{matrix}\right. qui sono proprio identiche (prima se invertivamo il segno si notava chiaramente che il rango q era inferiore, qui invece è proprio evidente) e dunque infinite soluzioni.
Dimmi se ti trovi con tutto: ti allego un link che può tornarti utile per ripassare la teoria sui sistemi lineari in maniera rapida.
