a. La funzione f(x)=\sin^2 \frac{x}{2} la si trasforma in coseno sfruttando le formule di bisezione, e non richiede nessun passaggio. La funzione g(x)=\frac{1}{1+\tan^2 x} può essere scritta innanzitutto come \frac{1}{1+\tan^2 x}=\frac{1}{1+\frac{\sin ^2x}{\cos^2x}}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2 x}=\cos^2x e ora la linearizzi sfruttando la formula di duplicazione del coseno \cos(2x)=2\cos^2x-1 dove determini quanto vale \cos^2x a partire dalla formula di duplicazione, e hai fatto.
b. Per rappresentarle usa le regole classiche che puoi trovare sul libro, oppure usa come guida l'esercizio che ho risolto l'altra volta. Per il dominio hai che la f(x) vale in tutto il campo reale, visto che la funzione di partenza non presenta "problemi". Mentre la funzione g(x) ha problemi perché la funzione \tan x è definita per x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi e quindi vanno esclusi tutti questi punti.
Il periodo della f(x), essendo definita a partire dal seno quadrato (e quindi il periodo si smezza da che ora 2\pi) ma hai anche l'argomento viene diviso per 2 (quindi il periodo si duplica), hai che a finale il suo periodo è banalmente T=2\pi, mentre la g(x) è definita dal quadrato di una tangente: questa a differenza del seno e coseno ha periodo che vale sempre T=\pi. E' roba di teoria, se ti serve il perché ti posso anche rispondere in un'altra risposta, ma per l'esercizio basta sapere le proprietà delle funzioni trigonometriche.
c. L'intersezione la risolvi mettendo a sistema ambo le funzioni e vedendo la soluzione:
\frac{1-\cos x}{2}=\cos^2x \rightarrow 2\cos^2x+\cos x-1=0 \to\\
\cos x=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1\pm3}{4}\to (\cos x)_0=-1,(\cos x)_1=\frac{1}{2}\\
\to x_0=\pi +2k\pi, x_1=\pm \frac{\pi}{3}+2k\pi
d. Graficamente basta osservare il grafico. Analiticamente puoi valutare la derivata di entrambe le funzioni in corrispondenza di quale punto si annullano (per trovare minimi e massimi), mentre per capire chi è il massimo puoi anche valutare singolarmente punto per punto trovato e vedere chi sta "più in alto" e hai risolto: te lo risolvo per la seconda:
D[\cos^2x]=-2\sin x \cos x \overset{?}=0\\
\sin x =0 , \cos x=0 \to x=\pm k\pi, x=\frac{\pi}{2} \pm k\pi Perfetto, ora prenditi le due soluzioni (preferibilmente nel periodo principale) e sostituiscili nella funzione di partenza, hai \cos^2(0)=1\\ \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e ti sei praticamente dato la risposta: ovviamente x=\pm k\pi è la risposta per g(x).
