Problemi funzioni goniometriche

maurizia21-

N°94
Deduci dal grafico l'equazione della funzione rappresentata e il suo periodo.
Traccia il grafico di f(x).
Traccia il grafico di | f(x)-3|
Verifica se nell'intervallo [ -pigreco/3;pigreco] la funzione f(x) è invertibile, altrimenti restringi il dominio in modo che lo sia.
Determina la funzione f ^-1(x) in tale dominio e rappresentala graficamente.

N°85
La funzione f(x)= a*sin[b(x-𐌘)]+k ha il grafico mostrato in figura.
Individua il dominio, condomino e periodo di f(x).
Determina il valore dei parametri a,b,𐌘 e k.
Applica alla funzione la traslazione di vettore (-pigreco/6;1) indicando con g(x) la funzione traslata.
Rappresenta la funzione
h(x)=3sin(2x-pigreco/3) -3+3cos(2x+pigreco/6)
Dopo averla opportunamente semplificata e individuata, graficamente e algebricamente, i punti di intersezione tra g e h.

SvolgoMath

Per il punto a. sai che l'equazione di una qualsiasi funzione sinusoidale è del tipo y=A\sin(x+\phi) + B dove A è il coefficiente di amplificazione della sinusoide, \phi è la fase iniziale e B è un valore di "offset", una sorta di intercetta.
A questo punto, è immediato che l'ampiezza della curva, sapendo che la distanza in altezza tra i due picchi vale 5-(-1)=6, hai che l'ampiezza è la metà, dunque A=3. La fase \phi te la dice proprio, vale \phi = -\frac{\pi}{3} ed è negativa perché è shiftata in avanti, così come anche B=2 te lo da proprio, perché l'altezza di riferimento della sinusoide si trova a y=2 (infatti questa altezza si trova proprio a metà strada tra -1 e 5), per cui la funzione sarà y=3\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2.
Per il punto b. devi solamente ribaltare le parti della sinusoide che si trovano sotto l'asse x, e renderle positive, avrai quindi dei fronti alti e fronti bassi, tutti positivi, alternanti, in questo modo:

Per il punto c. stessa cosa, solo che devi prima effettuare una traslazione verso il basso di 3 unità, e poi ribaltare le parti negative:

Per il punto d. hai che nell'intervallo \left[-\frac{\pi}{3};\pi\right] la funzione non è invertibile, lo vedi chiaramente perché, se osservi il comportamento della funzione in questo intervallo, la funzione è prima strettamente decrescente, e poi diventa strettamente crescente, per poi diventare di nuovo strettamente decrescente dunque non è biettiva in tutto l'intervallo:

Ciò che puoi fare è determinare i due punti in cui raggiunge il minimo e il massimo, e restringere il dominio come suggerito nella traccia. Dalle equazioni ricaviamo che le ascisse di minimo e massimo in questo intervallo devono necessariamente essere trovate con questa imposizione:
3\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2=-1 \to \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-1\to x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}\to x=-\frac{\pi}{6} \\ 3\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2=5\to\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1\to x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2} \to x=\frac{5}{6}\pi e per trovare la funzione inversa bastano operazioni analitiche elementari:
y=3\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2 \to \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{y-2}{3}\to x-\frac{\pi}{3}=\arcsin\left(\frac{y-2}{3}\right)\to\\ x= \arcsin\left(\frac{y-2}{3}\right)+\frac{\pi}{3} dove cambiando il riferimento tra dominio e codominio avremo proprio:
y= \arcsin\left(\frac{x-2}{3}\right)+\frac{\pi}{3}.

Se ti serve l'altra, domani se ho tempo te la risolvo, altrimenti analizza la situazione che ti ho portato per il 94, e vedi se riesci a fare qualcosa! Ricordamelo se ti serve aiuto!

maurizia21-

Grazie mille🥰