Ti invito a leggere il regolamento per non perderti nessuna regola (in particolare, qui ti sei dimenticato di mettere per iscritto le tracce dei problemi, e inoltre di non aver fatto un post contenente "pochi" esercizi per volta).
La prima volta sorvolo con tutti, dalla prossima no.

1. Basta ricordare che:
   $$\sin ^2 \alpha + \cos^2\alpha=1 \to \cos \alpha = \pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}\\ \cos \alpha=\pm\sqrt{1-\left(\frac{1}{3} \right )^2}=\pm\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\pm\sqrt{\frac{8}{9}}=\pm\frac{2}{3}\sqrt2$$ dove prenderai la soluzione per cui il coseno ha segno concorde al quadrante considerato.

3. Per le proprietà dei seni e coseni, hai che:
   $$\sin (-\alpha)+\sin(90\degree -\alpha)+\cos(180\degree +\alpha)-\cos(180\degree -\alpha)=\\ -\sin \alpha +\cos\alpha-\cos \alpha-(-\cos \alpha)=\\ -\sin \alpha + \cos \alpha$$

4. La C) è quella sbagliata, la abbiamo pure applicata nel 3) per risolvere la semplificazione, e abbiamo trovato che non è $\cos \alpha$ bensì $-\cos \alpha$.

Il 2) se ti serve posso svolgertelo domani quando ho un po di tempo se ti può servire, ma ti invito a usare o la calcolatrice se ti è concesso, o altrimenti a sfruttare le relazioni note fra gli angoli (esempio, 120° lo vedi come 90°+ 30° e da qui è facile ricavarsi il valore del seno al quadrato...)
In alternativa, puoi farti aiutare con Photomath o altri software simili, sono calcoletti...

Se hai bisogno di altro fammi sapere.