Hai il limite \lim_{x \to \infty}\ln \frac{|x|}{2} da studiare. Ma è ovvio, senza nessun tipo di calcolo, che viene, a prescindere dal \pm \infty verso cui il limite punta, che è sempre +\infty.
Questo lo ottieni dal fatto che la funzione \ln x per x \to +\infty vale +\infty, mentre per x \to -\infty non esiste, visto che l'argomento deve essere positivo. Ma nel nostro caso invece, abbiamo come argomento un valore assoluto, che è sempre o positivo o al più nullo, dunque per x \to \pm \infty hai che il limite fa sempre +\infty. Il diviso 2 non te ne preoccupi proprio, visto che non gioca nessun ruolo al limite.
Questo lo risolvi così:
\lim_{x \to +\infty}(\sqrt{x^2+2}+x)=\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x^2+2}+\lim_{x \to +\infty}x=+\infty +\infty=+\infty ti spezzi il limite fondamentalmente, e vedi se i due limiti che ti escono, se sono "compatibili" quando li sommi. Visto che non esce una forma indeterminata (tipo +\infty - \infty, vedi sono dello stesso segno) hai finito, e hai che il limite vale +\infty.
Per fare la verifica, basta fare come nell'esempio:
\sqrt{x^2+2}+x>M \to\\ \sqrt{x^2+2}>M-x \to\\ x^2+2>M^2+x^2-2Mx\to\\ 2Mx>M^2-2\to\\ x>\frac{M^2-2}{2M} e vedi che la soluzione è un intorno di infinito per M>0, dunque è verificato il limite.
Se hai dubbi o altro fammi sapere
