L'esercizio è:
Determina l'equazione della parabola passante per i 3 punti: A(1,1), B(4,-2). C(9,3).
Ci ha chiesto di determinare un'equazione. Quando ci viene richiesto, ricordati, sempre sistema di equazioni.
Il sistema nello specifico dovrà avere tre condizioni che devono essere rispettate contemporaneamente (tre condizioni perché la parabola è della forma y=ax^2+bx+c dove i parametri da determinare sono per l'appunto 3, e sono a,b e c).
Appurato questo, possiamo procedere con l'esercizio: ci da i 3 punti per cui passa la parabola. Subito dovrebbe scattare il campanellino d'allarme 🔔 ci sta dicendo proprio guarda: le 3 condizioni da dare in pasto al sistema sono proprio queste! E facciamolo: dobbiamo dunque imporre il passaggio per i tre punti singolarmente, ovvero si tratta di sostituire all'equazione della parabola la x e la y corrispondente al punto in cui vogliamo verificare l'equazione. Nel primo caso infatti, l'equazione y=ax^2+bx+c diventerà 1=a(1)^2+b(1)+c cioè 1=a+b+c, e così faremo con gli altri due punti. \left\{\begin{matrix}
1=a+b+c\\
-2=16a+4b+c\\
3=81a+9b+c
\end{matrix}\right.Ora ci tocca risolvere questo sistema di tre equazioni a tre incognite (risolvibile infatti) e per farlo possiamo prendere una delle quattro strade possibili - metodo per riduzione, cramer, sostituzione, confronto - e trovare i tre parametri. Ciò che faccio ogni volta è semplificarmi le espressioni. Dopo la prima freccia mi sono ricavato due nuove equazioni a partire da quelle già date: Ho infatti, per la prima nuova equazione sottratto la 1° vecchia equazione con la 2°, e per la seconda nuova equazione sottratto la 2° vecchia equazione con la 3° (ho applicato metodo di riduzione), e mi sono semplificato le prime due, infatti mi sono tolto il parametro c di mezzo. La seconda freccia invece, ho semplificato entrambe le equazioni, e dopo la terza freccia invece ho applicato nuovamente metodo di riduzione.
\left\{\begin{matrix}
1=a+b+c\\
-2=16a+4b+c\\
3=81a+9b+c
\end{matrix}\right.\rightarrow
\left\{\begin{matrix}
3=-15a-3b\\
-5=-65a-5b\\
3=81a+9b+c
\end{matrix}\right.\rightarrow
\left\{\begin{matrix}
1=-5a-b\\
-1=-13a-b\\
3=81a+9b+c
\end{matrix}\right.\rightarrow
\left\{\begin{matrix}
2=8a\\
-1=-13a-b\\
3=81a+9b+c
\end{matrix}\right.
Da qui ti ricavi agevolmente a=\frac{1}{4} e da a ti ricavi a catena anche gli altri due parametri b=1-\frac{13}{4}=-\frac{9}{4} e c=3-\frac{81}{4}+\frac{81}{4}=3
Ovvero l'equazione cercata è y=\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{4}x+3
Spero ti sia stato d'aiuto, se lo fosse stato ti invito a condividere la risposta e il forum con i tuoi amici e compagni! Nel caso hai altre domande, puoi farle in risposta qui di seguito 👍
