Il dominio di questa funzione lo trovi risolvendo il sistema:
$$\left\{\begin{matrix} x>0\\ |x-1|-2\neq0 \end{matrix}\right.\to \left\{\begin{matrix} x>0\\ |x-1|\neq 2 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix} x>0\\ x-1\neq \pm2 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix} x>0\\ x\neq 3, x \neq -1 \end{matrix}\right.$$ e quindi in definitiva:
$$D:x>0,x\neq 3$$

La prima disequazione viene dall'argomento imposto dal logaritmo. La seconda inuguaglianza invece, la vedi perché hai un denominatore dove è presente la incognita, quindi devi verificare che non sia 0. Metti insieme, e hai il risultato.