Il principio di induzione consente di verificare sin da subito se, nel campo dei numeri naturali, una proprietà è vera o falsa per ogni $n$ numero naturale.

Un esempio che mi piace sempre portare per farla capire è la somma di Gauss: noi sappiamo che la somma dei numeri da $0$ fino a $n$ vale $$\sum_{i=0}^{n}x=\frac{n(n+1)}{2}$$
Col principio di induzione cosa facciamo? Semplicemente verifichiamo se questa formula è verificata davvero per tutti gli $n$ numeri naturali. Cioè partiamo da una formula che supponiamo vera (in questo la formula di Gauss), verifichiamo che vale almeno in un caso (si può scegliere sia lo $0$ che $1$) e poi si deve tentare di verificare, assunto vero per $n$, che questa formula continui a valere anche per $n+1$, così abbiamo assicurato la sua valenza per tutti gli $n$ numeri naturali.

1. Quindi, il primo passo è verificare se c'è la base induttiva: nel nostro caso partiamo da $0$ e vediamo che:
   $$P(n=0)=\sum_{i=0}^{0}x=\frac{0\cdot 1}{2}=0$$ e ci troviamo. La base induttiva ce l'abbiamo.

2. Ora verifichiamo se la formula vale anche per $n+1$, supposto vera per $n$ come qui:
   $$P(n)=\sum_{i=0}^{n}x=0+1+2+3+...+n=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$$ valga in realtà anche per
   $$P(n+1)=\sum_{i=0}^{n+1}x=0+1+2+3+...+(n+1)=\frac{(n+1)\cdot [(n+1)+1]}{2}$$Per verificare ciò, basta fare una considerazione algebrica davvero rapida:
   $$P(n+1)=0+1+2+3+...+n+(n+1)=P(n)+(n+1)=\\ \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)= \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\\ \frac{(n+1)(n+2)}{2}= \frac{(n+1)[(n+1)+1]}{2}$$e abbiamo finito: se proviamo a sostituire $(n+1)$ con $n$ nell'espressione ci troviamo proprio identicamente con la formula che abbiamo supposto vera a priori.

Per il principio di induzione, possiamo affermare che la formula di Gauss è vera.

Se hai altri dubbi o domande, fammele sapere sempre qui sotto.