1) Un sottoinsieme è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3 se verifica queste 2 proprietà:
- La somma di due elementi s_1,s_2 \in \mathbb{V} appartiene a \mathbb{V};
- Il prodotto di un qualsiasi elemento s \in \mathbb{V} per uno scalare k \in \mathbb{R} appartiene a \mathbb{V}.
La prima è facile vedere che viene soddisfatta: 3x_1-2y_1+z_1+3x_2-2y_2+z_2=0 \to 3(x_1+x_2)-2(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0\\ \to s_1+s_2 \in \mathbb{V}
La seconda è anch'essa facile, visto che \to kx-k2y+kz=0 \to k(x-2y+z)=0\to k\cdot s=0 \to k\cdot s \in \mathbb{V} e abbiamo verificato quindi che \mathbb{V} è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3.
2) Essendo il sottoinsieme "descritto" da una sola equazione, il massimo che puoi fare è vedere (x,y,2y-3x)\in \mathbb{V} e da qui, le due basi B_1(1,0,-3),B_2(0,1,2), la dimensione è dunque 2, e hai risposto anche alla 3) domanda
