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Quando si tratta di massimi e minimi, ricordati sempre "derivate"! La ricerca dei minimi e massimi per una funzione avviene grazie al preziosissimo Teorema di Fermat (il quale afferma che un punto di minimo/massimo relativo di una funzione è necessariamente uno zero della sua derivata prima).

L'idea dunque più banale che viene in mente è ricorrere prima alla determinazione della funzione derivata, e poi eventualmente applicare Ruffini per scomporlo e trovare gli zeri della derivata prima.

Il metodo di Ruffini è uno strumento che ci consente di ricavare gli zeri della funzione senza passare per calcoli analitici. Come noi sappiamo però, è uno strumento valido per calcolare gli zeri interi, in quanto l'applicazione del metodo richiede che siano zeri interi.

La funzione $8640n^2-2800n^3+315n^4-12n^5$ ha come derivata: $$\frac{df(n)}{dn}=8640*2n-2800*3n^2+315*4n^3-12*5n^4=\\=17280n-8400n^2+1260n^3-60n^4$$ A questo punto per semplificarci il problema possiamo mettere in evidenza i termini in comune tra i 4 addendi (vedo multipli di 2 e un $n$ che si possono mettere in evidenza) e in definitiva avremo: $$f'(n)=60n(288-140n+21n^2-n^3)$$E ci siamo semplificati l'espressione.

Ora applichiamo Ruffini ma solo all'espressione in parentesi, andando a ricercare i possibili zeri tra i divisori di 288 (sono tanti, partiamo da quelli più piccoli comprendendo 1,-1... e vediamo se riusciamo ad acchiappare uno zero) e si può vedere che dopo aver scartato 1,-1,2,-2 il primo zero è 4 (Infatti $f'(4)=60*4(288-140*4+21*4^2-4^3)=0$).
Allora scomponiamo con Ruffini la sola parentesi:

A questo punto, per la seconda parentesi, puoi cercarti le soluzioni o con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, o se vuoi allungarti i calcoli puoi ancora proseguire con Ruffini, ma chi te lo fa fare: usa la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, e ti ricavi i due zeri anche della seconda parentesi, e ti sei trovato gli zeri:
$$n=\frac{-17\pm\sqrt{17^2-4(-1)(-72)}}{-2}=\frac{-17\pm1}{-2}\rightarrow n_1=9,n_2=8$$Dunque, la funzione derivata può essere riscritta (a meno del segno di cui poco ci interessa in questo caso, ma se vuoi essere pignolo devi aggiungerci un meno davanti a tutta l'espressione) come:$$f'(n)=60n(n-4)(n-8)(n-9)$$E' fatta: ora devi sostituire $n=0,n=4,n=8,n=9$ all'espressione di partenza, e vedere quale ti dà il risultato il più grande (aiutati con una calcolatrice scientifica, che ti semplifica enormemente i calcoli) e troverai che il massimo rendimento lo avrai per $n=4$.

Tant'è che se provo a tracciarne il grafico (aiutiamoci con una calcolatrice grafica) vedremo infatti che il massimo lo si raggiunge proprio a $n=4$:

Fammi sapere se è tutto chiaro!

SvolgoMath Ciao, prima di tutto vorrei ringraziarti per la tempestività nella risposta al messaggio e per la semplicità con cui ti sei esposto. I passaggi sono tutti chiari, ho provato a rifare l'esercizio rifacendo anche tutti i calcoli e sono riuscito. Se possibile vorrei farti un altro paio di domande sempre in merito ad esercizi di questo tipo:

1. Nel caso in cui mi venisse chiesto di determinare il numero ottimale di lavoratori per ogni squadra devo sempre derivare l'equazione principale che mi viene fornita fino ad arrivare poi ad un'equazione di secondo grado? Se il procedimento appena descritto è corretto, poi come si procede?
2. Nel caso in cui invece mi venisse chiesto di calcolare il rendimento massimo sapendo che ogni squadra può essere composta da un numero massimo di lavoratori (es. 4), devo sempre arrivare ad un'equazione di secondo grado e poi sostituire questo numero massimo di lavoratori nell'equazione ottenuta?

Grazie ancora per la disponibilità.

Alex

1. Dipende sempre dalla richiesta che ti viene fatta: "numero ottimale" è una richiesta molto vaga, ci vogliono altre condizioni che ti vengono dette nella traccia che ti faranno capire poi qual è la strada da percorrere per ottenere la soluzione. Il metodo che ti ho descritto (ricerca dei minimi e massimi di una funzione) è un metodo del tutto generale, che puoi sempre applicare a qualsiasi funzione; ma è implicito che devi sapere quando applicarlo (cioè lo applichi quando hai l'equazione che ti descrive - in questo caso - il rendimento in dipendenza di una variabile - il numero dei lavoratori).

2. Se ti impone un limite di lavoratori ad esempio, dovrai verificare sempre quali sono i punti "a tangente nulla" si dicono, ovvero i punti che ci siamo ricavati dalla funzione derivata prima, e poi scartare i punti che risultano essere $>4$ ovviamente: se fosse stato richiesto in questo esercizio, saremmo sempre dovuti arrivare alla funzione $f'(n)=60n(n-4)(n-8)(n-9)$ solo che gli unici punti che avremmo dovuto valutare alla $f(n)$ sarebbero stati solo i punti $n=0$ e $n=4$, visto che gli ultimi due erano maggiori di 4.

Poi, attenzione, in questo esercizio hai il "vantaggio" che stiamo operando in una situazione molto "naturale" lasciami passare questo termine: sia perché effettivamente la traccia ci ha detto che la funzione è una $f(n)$, cioè una funzione che opera solo su numeri naturali, come ci saremmo dovuti aspettare visto che i lavoratori nella realtà non possono essere $\frac{2}{3}$ o $\pi^2$ cioè intendiamoci, la traccia ci ha messo in situazione molto semplice; e sia per il fatto che operando sui numeri naturali, possiamo anche scartare tutti i numeri negativi, dunque i punti da valutare alla fine dei conti sono veramente pochi.

Nota: lo hai scritto un paio di volte, mi sento di farti questo appello: non fissarti sul "devo arrivare all'equazione di secondo grado" perché non è l'obiettivo che ti è stato richiesto. Per quale motivo ci sarebbe l'urgenza di giungere all'equazione di secondo grado? Cerca di non ragionare per partito preso, negli esercizi puoi aspettarti formule strane, stranissime, ciò non vuol dire che siano a priori sbagliate: se segui un ragionamento condotto da logica e rigore, anche le formule che a primo impatto non ti dicono nulla, possono dirti invece tanto.